Üç boyutlu yarı uzayda operatör katsayılı schrödinger denkleminin spektrumunun asimptotik davranışı

Abstract

ÖZET H ayrılabilir bir Hubert uzayı olsun. LaCEjjH) ile E3 -Euclidean uzayının üst yan bölgesinde tanımlanmış, değerleri H Hubert uzayında olan ve normunun karesi integrallenebilir fonksiyonlar uzayını gösterelim. Hı = LaCE^H) uzayına ait keyfi f(x) ve g(x) fonksiyonları için (f,g)Hı = J(f(x),g(x))Hdx ifadesi bir skaler çarpım tanımlar. H, uzayı bu skaler çarpıma göre ayrılabilir bir Hubert uzayı oluşturur. L2(E3;H) uzayında operatör katsayılı -Au + Q(x)u,xeE£ diferansiyel ifadesi ve u(xı,X2,x3)S3=0 = 0 sınır şartı ile bir L0 simetrik operatörü oluşturulmuştur. Burada Q(x), Vx e E3 için kendine eş, alttan sınırlı ve tersi tam sürekli olan bir operatör, -A ise üç boyutlu Laplace operatörüdür. L0 operatörünün kapanışım L ile gösterelim. Bazı şartlar altında L operatörü kendine eş olur. Böylece elde edilen L operatörünün spektrumunun saf-ayrık olduğu ispatlanmış ve L operatörünün A, > 0 sayısını aşmayan öz değerler sayısı olan N(A) fonksiyonu için Nfl.)--^? J fl,-ai(x))§dx, X-*oo 6îî i oı&a asimptotik formülü elde edilmiştir. Burada ctı(x) < ot2(x) <,...an(x) <... fonksiyonlar H Hiîbert uzayında dönüşüm yapan Q(x) operatörünün özdeğerleridir.

SUMMARY Let H be a separable Hubert space. L2(E3;H) is the space of functions which consists of all functions defined in E3 that satisfy square-integrability condition, and their values are in H. Where E3 is the upper half part of Euclidean space. The following expression (f>g)Hl = J(f(x),g(x))Hdx defines a scalar product for arbitrary functions f(x) and g(x) belonging to Hi = L2(E3;H). The space Hj forms a separable Hubert space with respect to the scalar product given above. A symmetric operator L0 is constructed by the differential expression -Au + Q(x)u with operator coefficient and the boundary condition u(xı,X2,X3)X3=0 = 0 in LaCE^H). Where Q(x) is a self- Adjoint and positive definite operator for every x s E3. It is also assumed that Q_1(x) is a completely continuous operator for every x g EJ. -A is a three-dimensional Laplace operator. We denote by L, the closure of the operator L0. The operator L becomes a self-adjoint operator under some conditions. It is shown that the spectrum of the self- Adjoint operator consists of eigenvalues of L, that is, purely discrete and asymptotic behaviour of the function N(X) is found as Nfl.)--^? J (X-cii(x))tdx, A, -»00 671 * ««»a Where N(X) is the number of eigenvalues of L not exceeding `k and cti(x) < ci2(x) <...an(x) <:... are the eigenvalues of the operator Q(x) defined in H., / 'f * '