Eğri momentum uzayları ve komütatif olmayan diferansiyel hesaplar

Abstract

ÖZET Olasılık yorumu da dahil olmak üzere standart kuantum mekaniğinin tüm postülalannı sağlayan rölativistik teori bir boyutlu durum için geliştirilmiştir. Teorinin rölativistik karakteri, Lorentz grup gösterimlerinin indirgenemez, üniter gösterimleriyle tanımlanır. Bu matris elemanları ise serbest hareketin dalga fonksiyonlandır(rölativistik düzlem dalgalar). Yaklaşım, parçacığın rölativistik enerjisi ile momentumu arasındaki ilişkiyi anlatan kütle kabuğu denkleminin Lobachevsky momentum uzayını tasvir etmesine dayanmaktadır. Lobachevsky uzayının izometri grubu (ya da uzayın hareketler grubu) Lorentz grubudur. Bu teoride enerji ve momentum operatörleri, fark aralığının parçacığın Compton dalga boyuna eşit olduğu sonlu fark operatörleridir. Serbest rölativistik parçacığın sonlu fark Schrödinger denklemi standart Schrödinger denkleminden ayırt edilemeyecek bir formda yazılmıştır. Rölativistik yaklaşımın gereklerini karşılamak için kurulan sonlu fark hesaplar geliştirilmiştir. Diferansiyel formlar teorisinin deformasyonlanna dayanan komütatif olmayan diferansiyel hesapların kısa bir özeti verilmiş ve komütatif olmayan diferansiyel hesapların rölativistik Schrödinger denklemi için doğal bir matematiksel araç olduğu gösterilmiştir. Ardından bir boyutlu rölativistik saçılma teorisi araştırılmıştır. Rölativistik Green fonksiyonu, argümanların kompleks düzleminde Jordon lemması kullanılarak kapalı bir formda hesaplanmıştır. Sonlu fark hesaplar durumu için önemli sayıda dağılımlar, integral gösterimleri temelinde genelleştirilmiştir. vı

ABSTRACT The relativistic theory, which satisfies all postulates of standard quantum mechanics, including probability interpretation, has been developed in one-dimensional case. The relativistic character of the theory is described by the matrix elements of the unitary, irreducible representations of the Lorentz group. These matrix elements are the free motion wave functions (relativistic plane waves). The approach considered is based on a fact that mass shell equation of a particle (i.e. the relativistic connection between energy and momentum) describes Lobachevsky momentum space. The isometry group (group of motions) of the Lobachevsky space is the Lorentz group. In this theory the operators of energy and momentum are finite-difference operators with the difference interval equal to the Compton's wavelength of the particle. The finite-difference Schrödinger equation of free relativistic particle has been written in a form indistinguishable from the standard Schrödinger equation. The finite-difference calculus, which is constructed for meeting the needs of the relativistic approach, has been developed. A short review of non-commutative differential calculus based on the theory of differential forms as their deformation has been given and it was shown that the non-commutative differential calculus is a natural mathematical tool for the relativistic Schrödinger equation. Then the relativistic one-dimensional scattering theory has been investigated. The relativistic Green's function has been calculated in a closed form using the Jordon's lemma in the complex plane of rapidities. A number of important distributions have been generalized for the case of finite-difference calculus on a basis of integral representations. Vll