Laplace dönüşümleri ve uygulamaları

Abstract

ÖZET Bu çalışmada özellikle başlangıç değer problemlerinin çözümünde çok kullanışlı yöntemlerden biri olan Laplace dönüşümü ele alınmıştır. Her bölüm tanımlarla başlar ve her teoremden sonra ispatı ve açıklayıcı örneği verilir. Birinci bölümde bazı hatırlatmalara yer verilmiştir. Laplace dönüşümü tanımlanmış ve varlığı için yeter koşul açıklanmıştır. Laplace transformasyonunun temel teoremleri ispatlanmıştır. Bazı özel fonksiyonların dönüşümünün nasıl hesaplanacağı örneklerle açıklanmıştır. îkinci bölümde ters Laplace dönüşümü ve özellikleri özetlenmiştir. Bu dönüşüm örneklerle açıklanmaya çalışılmıştır. Üçüncü bölümde birim basamak fonksiyonu, gamma fonksiyonu, periyodik fonksiyon ve Dirac delta fonksiyonu açıklanmış ve Laplace dönüşümleri hesaplanmıştır. Dördüncü bölüm Duhamel formülü ve uygulanmasına ayrılmıştır. Beşinci bölümde Heaviside açılım teoremleri ve formülü anlatılmıştır. Altıncı bölümde Laplace dönüşümü yardımıyla lineer diferansiyel denklemlerin çözümü verilmiştir. Yedinci bölüm konvolüsyona ayrılmış ve konvolüsyon yardımıyla başlangıç değer problemlerinin çözüm yöntemi anlatılmıştır. Sekizinci bölümde Laplace dönüşümü kismi diferansiyel denklemlerin çözümüne uygulanmıştır. Son bölümde ise bu çalışmanın sonuçlan özetlenmiştir. Anahtar kelimeler: Laplace dönüşümü, ters Laplace dönüşümü, diferansiyel denklem, başlangıç değer problemi, konvolüsyon vııı

ABSTRACT In this study, Laplace transform that is especially useful in the solution of initial-value problems has handled. Every chapter starts with definitions and it is followed by theorems, proves and examples. In the first chapter there are some revisions. Laplace transform is defined and sufficient condition for the existence of transform is explained. Basic theorems of Laplace transform are also proved. However, it is explained how to calculate the transform of basic functions by examples. In the second chapter inverse Laplace transform and its basic properties are summarized. Some examples are solved to explain this transform. In the third chapter step function, gamma function, periodic function and Dirac delta function are explained and their Laplace transforms are calculated. Fourth chapter is reserved for Duhamel formula and its applications. In the fifth chapter it is explained Heaviside expansion theorems and formula. In the sixth chapter the solution of linear differential equations by Laplace transform is given. Seventh chapter is reserved for convolution and the solution of initial-value problems is explained by using convolution. In the eighth chapter Laplace transform is applied to the solution of partial differential equations. In the last part the results of this study is summarized. Keywords: Laplace transform, inverse Laplace transform, differential equation, initial-value problem, convolution IX