Laplace, ters Laplace dönüşümleri ve diferansiyel denkleme uygulaması

Abstract

ÖZET Diferansiyel denklem problemleri, matematik ve fizik temel bilimlerinde, ayrıca mühendislik alanında sıkça karşımıza çıkan problemlerdendir. Bu diferansiyel denklem problemlerinin çözümü için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Laplace dönüşümleri de bu çözüm yöntemlerinden biri olmakla birlikte oldukça da kullanışlıdır. Özellikle başlangıç değer problemleri bu dönüşümler uygulanarak kolaylıkla çözülebilir. Zor çözülebilecek bir diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü ile basit cebir problemine dönüştürebiliriz. Ardından bu basit cebir problemini çözüp, ters Laplace dönüşümü ile kolayca sonuca ulaşabiliriz. Bu çalışmanın da ilk bölümünde, dönüşümün ne olduğu örneklerle açıklanmıştır. ikinci bölümde, Laplace dönüşümü tanımlanmış ve temel özellikleri teorem başlıkları altoda yazılıp ispatlanmıştır. Ayrıca diferansiyel denklem problemlerinin çözümünde karşımıza çıkabilecek bazı özel fonksiyonlar ele alınarak Laplace dönüşümleri hesaplanmıştır. Üçüncü bölümde ters Laplace dönüşümü ve özelliklerine yer verilmiş, ters Laplace dönüşümünün hesaplanmasında kullanılan yöntemler anlatılmıştır. Dördüncü bölüm kompleks sayılara ayrılmış, ters Laplace dönüşümünün bulunmasında rezidü teoreminin kullanılması örneklerle açıklanmıştır. Beşinci bölümde sabit ve değişken katsayılı adi diferansiyel denklemler, adi diferansiyel denklem sistemleri ile fark denkleminin çözümüne örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde Laplace dönüşümlerinin, matematik, fizik temel bilimlerinde ve mühendislik alanında nerelerde kullanıldığına örnekler verilerek değrnilmiştir. Son bölümde ise bu çalışmanın sonucu özetlenmiştir. Anahtar kelimeler: Laplace dönüşümü, ters Laplace dönüşümü, diferansiyel denklem, başlangıç değer problemi, fark denklemi, matematik problemleri, fizik problemleri, mühendislik problemleri. xı

ABSTRACT Differential equation problems are rather frequently recurring problems in mathematics, in physics main sciences and in engineering field. There are different methods for solving these differential equation problems. Laplace transformations is one of these solution procedures and also very useful. Especially beginning value problems can be solved easily by using these transformations. A differential equation which is difficult to be solved can be converted into a basic algebra problem with the help of the Laplace transformations. After solving this basic algebra problem, we can easily arrive at a conclusion with the help of the inverse of the Laplace Transformation. In the first section of this study `What does transformation means?` is explained with the examples. In the second section the Laplace transformation is described and basic principles enlisted under the theorem titles are proved. Furthermore some of the functions can be up against in the process of solving differential equation problems are discussed and their Laplace transformations are calculated. In the third section inverse of the Laplace transformations and properties are given place, the methods utilized in calculating inverse of the Laplace transformations are explained. The fourth part is assigned to the complex numbers, in the process of finding the inverse of the Laplace transformations by using the `Residue Theorem` is explained with the examples. In the fifth part examples are given about solving the constant and variable coefficient ordinary differential equations, ordinary differential equation systems and difference equations. In the sixth part it is mentioned where the Laplace transformations is used in mathematics, in physics main sciences and in engineering field and the solution of the problems can be up against us with the examples. At the last part this study's consequences are deduced. KEY WORDS: Laplace transformation, inverse Laplace transformation, differential equations, beginning value problems, difference equations, mathematic problems, physic problems and engineering problems. xn