Volterra integral denklemleri ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada Volterra integral denklemlerinin çözüm yöntemleri üzerinde çalışılmıştır.Giriş bölümünden sonra II.bölümde Volterra integral denklemleri hakkında genel bilgi verilmiştir.Bunlar integral denklemlerinde resolvant, resolvantın diferansiyel denklem yardımıyla bulunması veardışık yaklaştırma yöntemi şeklinde sıralanmıştır. Ayrıca Volterra integral denklemlerinin çözümündeLeibnitz kuralı bir başka yöntem olarak kullanılmıştır. Diferansiyel denkleme dönüştürülen integraldenklemin çözümü bu kural ile de elde edilmiştir. I. cins Volterra integral denklemlerinde Laplacedönüşüm yöntemi, Gama-Beta fonksiyonları ile çözüm yöntemleri incelenmiştir. Burada I. cinsVolterra integral denklemi II. cinsteki denkleme indirgemeden fark çekirdeği ile çözülmüştür. II. cinsVolterra integral denkleminde ise Runge-Kutta ve Neumann serisi ile yaklaşım yöntemlerikullanılmıştır. Burada integral denklem K(x,t) çekirdek fonksiyonu üzerinde herhangi bir kısaltmayapmaksızın itere çekirdeklerden yararlanarak bir denklem elde edildiği ve bu denklemin de integraldenklemin çözümü için bir yöntem olduğu gösterilmiştir.III. bölümde bu yöntemlerle ilgili örnekler çözülmüştür.IV. bölüme geçildiğinde ise Volterra integral denklemlerinin sayısal çözümleri, birim uzunlukluhomojen kirişin esneklik problemini esas alınarak incelenmiştir. Önce Volterra-Fredholm ve Fredholmintegral denkleminde homojen olmayan diferansiyel denklemin başlangıç şartları ele alınarak genelçözüm hesaplanmıştır. Bundan yararlanarak adi ardışık yakınsama ve genelleştirilmiş ardışıkyakınsama yöntemiyle çözüm bulunmuştur. Elde edilen çözümler t'nin 0, 0.1, 0.2, ......1 değerleri içinbelirlenmiştir.Anahtar kelimeler: Fredholm operatörü, Volterra operatörü.

In this study, the solution methods of Volterra equations were analysed.After the introduction part, in the second section the general information about Volterra equationswere presented. This information consist of resolution in Volterra equation, solving the resolution bymeans of differantial equation and the basic successive substitute approximations method. Also, in thesolution of Volterra equations the rules of Leibnitz was used as another method. The solution ofintegral equtaion, which was turned into differantial equations, was acquired through this rule. In thefirst type of Volterra equations Laplace transformation method, Gamma-Beta functions and theirsolution methods were analysed. Here, first type of Volterra equation was solved by not reducing tothe equation into the second type. However, in the type of volterra equations the approximationsmethods of Runge-Kutta and Neumann were used. In this part it was indicated that an equation isacquired by not condensing upon the function of K(x,t). This equation is a method for the solution ofan integral equation.In the third section, the examples about these methods were solved.When we come to the fourth section, it was analysed the numerical solutions of Volterra equations bytaking into consideration the flexibility problem of homogenous chord. Firsly, the general solution wascalculated by analysing the starting conditions of differantial equation which is not homogenous inVolterra-Fredholm and Fredholm integral equation. By using these findings the solution was acquiredby the basic successive substitute approximations method and modified successive approximationsmethod. These solutions were determined for the values of t=0, 0.1, 0.2,.....1.Key words: The operator of Fredholm, the operator of Volterra.