İkinci mertebeden lineer diferensiyel denklemlerin seri çözümleri

Abstract

Bir lineer diferansiyel denklemin genel çözümünün bulunması homojen denklemin temel çözümlerinin belirlenmesine bağlıdır. Eğer denklem sabit katsayılı ise temel çözümlerin elde edilmesi sistematik işlemlerle mümkündür. Değişken katsayılı denklemlerin temel çözümlerine ulaşmak için verilen bir fonksiyonun bir kuvvet serisi ile gösteriliminden yararlanılır.Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş olup, ikinci bölümde ön bilgiler adı altında kuvvet serileri hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde bir adi nokta civarında seri çözümü ele alınmıştır. Burada katsayıları bağımsız değişkenlere bağlı fonksiyonlar olan ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde düzgün tekil nokta tanımlanarak Euler denklemine yer verilmiştir. Euler denkleminin köklerinin gerçel ve farklı, eşit ve komleks eşlenikli olduğu durumlar ele alınmıştır. Beşinci bölümde düzgün tekil nokta civarındaki seri çözümlerine yer verilmiş olup bu bölümde de bir önceki bölüme benzer olarak indisel denklemin köklerinin durumları ele alınmıştır. Burada köklerin eşit ve farklarının tamsayı olduğu durumlar incelenmiştir. Son olarak altıncı bölümde ise Bessel denklemine yer verilmiş, sırasıyla sıfırıncı mertebeden, ½ -inci mertebeden ve birinci mertebeden Bessel denklemleri incelenmiştir.

Finding the general solution of a linear differential equation depends on determining a fundamental set of solutions of the homogeneous equation. It is possible to use a systematic procedure for constructing fundamental solutions only if the equation has constant coefficients. We can use power series expansions of a function to reach fundamental sets of solutions of equations that have variable coefficients.This thesis contains 6 sections. First section is named as introduction, second section is named as preliminaries and it gives introduction of power series. We consider series solutions near an ordinary point on the third section. Here we discuss the solution methods of second order linear differential equations whose coefficiants are functions of the independent variables. On the fourth section we define regular singular point and we discuss Euler equation. Then we consider separetely the cases in which the roots are real and distinct, real but equal and complex conjugates.In fifth section, we discuss series solutions near a regular singular point and as preceding section we consider the cases of the roots of indicial equation in which are equal or differ by a positive integer.Finally on the sixth section we consider Bessel equation and three special cases of Bessel equation which are respectively Besssel equation of order zero, Bessel equation of order one-half and Bessel equation of order one.