İndirgenmiş değişmeli olmayan halkalar üzerine

Abstract

-73- D Z E T Sunduğumuz bu tezin giriş bölümünde tez konusu be lirtildi ve daha sonraki bölümlerde kullanılacak tanımlar, teoremler verilip tezde geçen gösterimler toplu halde su nuldu. I Birinci bölümde, önce bir halkanın hangi şartlar al tında indirgenmiş halka olduğu incelendi. Daha sonra in dirgenmiş bir halkada, sağ sıfırlayanın iki yanlı ideal olduğu, singüler idealin sıfır olduğu, sıfır bölensiz hal kaların alt direkt toplamı olduğu ve diğer özellikler ve rilmiştir. Ayrıca birimli indirgenmiş bir halkada bir asal ideale göre bölüm halkasının injektif `hull`ına ait bir özellik ele alınmıştır. İkinci bölümde, ilk olarak indirgenmiş TT-regüler bir halkanın kuvvetli regüler ve biregüler olduğu, indir genmiş asal bir halkanın sıfırdan farklı sıfrr böleni ol madığı, indirgenmiş ve regüler bir halkada her basit R-modülün injektif olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra, her tam olarak asal ideali bir maksimal sağ ideal olan birimli indirgenmiş bir halkanın sağladığı ifadeler, birimli indir genmiş bir halkanın ne zaman regüler olduğu ve regüler bir halkanın integral genişlemesi indirgenmiş ise onun regüler olduğu verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir indirgenmiş halkada geçerli olan denk ifadeler ve minimal asal ideallerden oluşan bir topo lojik uzayın bir bazı açık ve kapalı kümeler olan Haussdorff uzayı olduğunun ispatı verilmiştir. Daha sonra, birimli bir halkada, indirgenmiş ve regüler bir halkanın biregüler, kuv vetli regüler ve her sağ idealin iki yanlı olmasının birbi rine denk olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, birimli SAC-hal- kanın regüler olmasının, integral genişlemesi indirgenmiş-1k- olan halkanın regüler almasına denk olduğu ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde, incelediğimiz makalelerde ispatsız olarak verilen özellikler ispat edildikten sonra [k, s.U27] de yer alan teoremin, Kezlan'ın [20 ] deki özelliği kullanı larak çok kısa bir ispatı verildi. Ayrıca birimsiz indir genmiş bir halkanın birimli indirgenmiş bir halka içine gömülebileceği ve indirgenmiş bir halkada denk ifadeler verilmiştir.

-75- SUMMARY In the introduction part of this paper, the subject matter of the thesis has been described and in the latter parts the definitions, the theorems and the notations to be used throughout the paper have been presented as a whole. In part one, first of all, the conditions for a ring to be a reduced ring has been studied. Later an, it has been introduced that a right annihilator is a two-sided ideal, a singular ideal is zero in a reduced ring which is a subdirect sum of rings with non-zero divisors, and also other properties have been explained. Additionally, a property of an injective hull of a quotient ring with respect to prime ideal, in a reduced ring with identity has been handled. In part two, firs of all it has been proved that a reduced regular ring is strongly regular and biregular and a reduced prime ring does not have a zero divisor other than zero, and also every simple R-module is injective in a regular reduced ring. After that, it has been introduced that the statements satisfied by a reduced ring with identity in which every completely prime ideal is a maximal right ideal, under what conditions a reduced ring with idendity is regular and if an integral extension of a regular ring is reduced, then it is regular. In part three, that the equivalent statements valid in a reduced ring and a topological space consisting of minimal prime ideals is a Haussdorff space with a base of open and closed sets has been proved. Later on, it has been shown that the cases in which a reduced and a regular ring in a ring with identity is biregular, strongly regular.76- and every right ideal is two-sided ideal are all equivalent tD each other. In addition, it has been proven that the case in which a SAC-ring is regular is equivalent to the case in which the ring with a reduced integral extension is regular. In part four, after allcthe properties presented without proof in the articles we had studied were proved, a very shart proof of the theorem in [k, p. 427] was given making use of Kezlan's property in [20J. That a reduced ring without identity can. be embedded into a reduced ring with identity and equivalent statements in a reduced ring have also been presented.