Türevli asal halkalar üzerine

Abstract

64 ÖZET Sunduğumuz bu tezin birinci bölümünde, sonraki bölümlerde geçecek olan tanımlar ile kullanılacak özellikler verildi. İkinci bölümde, halkalardaki türev çeşitleri tanıtıldı ve ayrıca asal halkalar ağırlıklı olmak üzere türevli asal ve yarı-asal halkalarda yapılan çalışmaların bir özeti sunuldu. Üçüncü bölümde, R charR*2 bir asal halka, I R'nin sıfırdan farklı bir ideali, D R'nin simetrik bi- türevi, d D'nin isi ve a R'nin sabit bir elemanı olmak üzere her x?R için (a,d(x))=0 veya [a,d(x)]=0 ise a?2 veya d=0 olduğu, d*0 ve d(a)*0 olmak üzere her x?R için (a,d(x))?3 veya [a,d(x)]?Z ise a?Z olduğu ispatlandı. Ayrıca D(I,I)CI hipotezi altında her x?l için (x,d(x))=0 ise d=0 olduğu görüldü. Bununla beraber yine türevli halkalarda çok iyi bilinen Lie ve Jordan idealli bazı özellikler simetrik bi-türevin izi için ispatlandı. Dördüncü bölümde, R 2-tor3ion free yarı-asal bir halka, d ve g R'nin türevleri, I R'nin d(I)cl ve 1(I)=0 olacak şekilde sıfırdan farklı bir ideali için d ve g'nin ortogonal olmasının; dg=0, dg+gd=0, her x?l için d(x)g(x)=0, dg bir türev ve her x?l için (dg)(x)=ax+xb olacak şekilde a,b?R olmasına denk olduğu ispatlandı. Bunun sonucu olarak her x?l için d(x)2=0 ise d=0 olduğu görüldü.Beşinci bolünde, ilk olarak R bir yarı-asal halka, a R'nin örten endomorfizması, d R'nin bir (a, 1) -tür evi olmak üzere d endomorfizma veya ters-endoaorf izaa ise d=0 olduğu ispatlandı. Daha sonra R bir asal halka, et R'nin a2=ct şartını sağlayan bir endomorf izması d R'nin bir (a, i)-türevi ve I R'nin ct(I)=I olacak şekilde sıfırdan farklı bir sağ ideali olmak üzere d I üzerinde homomorf izraa olarak hareket ediyorsa d=0 olduğu ve ayrıca yukarıdakilere ek olarak ad=dc& şartı altında, d I üzerinde ters-homomorf izaa olarak hareket ediyorsa yine d=0 olduğu gösterildi. Son olarak da R birimli bir halka, et R'nin sıfırdan farklı bir endomorf izaası, d R'nin (i, et) -tür evi, ü R'nin `U£Z, d(ü)*0 ve her u?U için d(u)=0 veya d(u) tersinirdir` şartlarını sağlayan bir Lie ideali ise d([U,R])*Q ve ayrıca I, ct(I)=I ve d(l)cl olmak üzere R'nin bir ideali ise I=R olduğu ispatlandı.

66 SUmtAPY In the first chapter of the thesis presented, the definitions and properties which will be used in the latter chapters, are given. In the second chapter., the derivations in rings have been introduced and also a summary of papers about semi-prime rings with derivation and mainly prime rings with derivation are given. In the third chapter, for all x?R if <a,d{x)}=0 or [a,d(x>]=0 then a?3 or d=0 and if (a,d(x))?2 or [a,d(x)]?Z then a?2, provided that d*0 and d(a)*0, are proved where R is a prime ring, charR*2 and I İ3 a nonzero ideal of P, D is a symmetric bi-derivation and d is the trace of D. Furthermore, under the hypothesis D(I,I)CI, for all x?l, if (x,d(x))=0..,? then d=0 is shown. Also, some properties those are well known for Lie and Jordan ideals in rings with derivation are proved by considering the trace of the symmetric bi-derivation instead of derivation. In the forth chapter, for R is a semi-prime 2-torsion free ring, d and g are derivations of R, I is a nonzero ideal of R such that d(I)cl and (I)=0, ortoganality of d and g is equivalent to dg=0, dg+gd=0. for all x?l (dg)(x)=ax+xb such that a,b?R İ3 proved. Consequently for all x?l if d(x)2=0 then d=0 is shown. In the fifth chapter, firstly if d is an endomorphism or anti-endomorphism then d=Q is proved where R is a semi-prime ring, a i3 a surjeetive endomorphism d i3 an (a, l)-derivation of R. Also if d acts on I as homomorphism67 then d=0 is proved where R is a prime ring, a is an endomorphisai such that a2=ec. d is an (et. i ) -derivation and I is an right, ideal such that a(I)=I and furthermore in addition to the conditions above if d acts on I as an anti-homomorphisa again d=0 is proved. Finally, if U is a Lie ideal of R satisfying the condition `U^Z, d(U)*0 and for all u?U d(u)=0 or invertible` then d([U,Rl)*0 and also if I is an ideal of R such that ct(I)=I and d(I)cl then I=R is proved where R is a ring vith identity, a is a nonzero endomorphism of R and d is a (i.ct) -derivation of R.