Navıer-stokes denklemlerinin blok krylov tekniği ile paralel çözümü

Abstract

Son yıllarda, yüksek hız ve sıcaklık gradyanlarına sahip akışkanların incelenmesinde, akışkanların bünye denklemlerinde bazı değişiklere gidilmesi zorunlu olmaktadır. Bu tür akışkanlara örnek olarak: i) yüksek hıza sahip dar bir jetin kendinden çok sıcak veya çok soğuk bir gaz ortamına zerki ve ii) çok sıcak bir duvar yüzeyinde çok yüksek hızlardaki sınır tabaka akışı gösterilebilir. Yüksek hız veya sıcaklık gradyanlarının varlığı bu tür akışkanlarda, süreklilik denklemine ek gerilme terimleri ve enerjinin korunumu denklemine ek kütle difüzyonu terimleri, hareket denklemine de ek gerilme işi terimleri gelmektedir. Bu çalışmada, Sıkıştırılabilir Sınır Tabaka denklemleri iki ve üç boyutta sonlu farklar ile paralel olarak sayısal çözülmekte, dahası yüksek entalpi gradyanına sahip bir duvar yüzeyine yakın bölgedeki akış da sayısal olarak çözülmektedir. Duvar, serbest akım Mach sayısı 8 olan düz bir levha olarak düşünülmekte ve duvar sıcaklığının dış akım sıcaklığına oranı ise 4 olarak alınmaktadır. Isıl sınır tabaka akışı olarak adlandırılan bu problemde, levha yüzeyinde veya hücum kenarında bir şok mevcut ise paralel yönde, akım büyüklükleri hızlı bir şekilde değişirler. Bu değişiklikleri sayısal çözümle yakalayabilmek için sık yapılı bir çözüm ağına gerek duyulmaktadır. Çok sayıda noktadan oluşan ayrıklaştırılmış çözüm alanı alt bölgelere ayrılıp her bölge ayrı ayrı çözüldüğünde ortaya bölgelere ayırma `domain decomposition` yöntemi çıkmaktadır. Her alt bölge için oluşan simetrik olmayan matrisler, geliştirilen yeni Blok Beşli-Köşegen çözme yöntemi ve Blok Krylov yöntemi ile çözülerek bölgeler arası iletişim sayesinde birbirine gerekli bilgileri iteratif bir şekilde verirler. Yakınsayan iterasyonların hızlı yakınsamaları için ise, Aitken yakınsama yöntemi denen bir yöntem kullanılmaktadır.

In recent years, constitutive equations of fluid mechanics are under revision because of flows involving very high velocity and/or very high enthalpy gradients. Example of such cases are, i) high velocity narrow jet injected into a very cold or very hot gas, ii) high velocity external flow near a hot wall. Presence of very high gradients in these flow fields introduce extra mass diffusion terms in continuity, extra stresses in momentum and extra stress work in the energy equations. In this study, Boundary Layer equations in two and three dimensions are numerically parallel solved via finite difference technique. Also, near wall solution of a hypersonic flow with high enthalpy gradient will be obtained numerically. The wall considered is that of a flat plate immersed in a uniform free stream with Mach number of 8 and ratio of the wall to free stream temperature is 4. For this type of flow, it is well known that the flow parameters vary greatly in a short distance which is normal to the wall or in the flow direction if there is a presence of a shock. Therefore, in the normal direction very fine resolution for the computational grid is required. For this purpose the computational domain is partitioned into several subdomains and in each subdomain the governing equations are solved separately via domain decomposition technique. In each subdomain, for the inversion of unsymmetrical matrices, the Block Krylov technique and alternatively a new improved direct block penta-diagonal solution technique is employed. Also in order to improve the convergence of overlap iterations Aitken approximation is used.