On Monomial burnside rings

Abstract

ÖZET TEK TERİMLİ BURNSIDE HALKALARI Ergün Yaraneri Matematik, Yüksek Lisans Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Laurance J. Barker Eylül, 2003 Bu tezde tek terimli Burnside halkalarının değişik yönlerini inceledik. Fakat bu çalışma iki önemli konu içermektedir, ve bunlar 6. ve 7. kısımlarda ele alınmıştır. Burnside halkaları üzerinde önemli fonksiyonlar tanımlanmıştır. 6. kısımda bu fonksiyonları Burnside halkalarını alt halka olarak içeren tek terimli Burnside halkalarına genişlettik. Ayrıca yine 6. kısımda tek terimli Burnside C- cebir lerinin ilkel idempotentlerinin genişlettiğimiz fonksiyonlar altındaki görüntülerini bulduk. Söz konusu fonksiyonlardan ikisi için ilkel idempotentlerin görüntüleri ilk olarak bu çalışmada yer almaktadır. Kısım 7 de ise tek terimli Burnside halkalarının asal ideallerini inceledik ve bazı tek terimli Burnside cebirlerinin ilkel idempotentleri hakkında bilgiler edindik. Elde ettiğimiz sonuçlar daha önceden başka çalışmalarda yer almayan yeni sonuçlar da içermektedir. 7. kısımdaki bu yeni sonuçlar arasında aşağıdaki üç sonuç en önemlileridir. (Z(`.) = {a/b G Q : b ^ Up?7rpZ}, ir =asal sayılardan oluşan bir küme). (a): Eğer A bir ir- grup ise Z^)B(A, G) ve Z^)B(G) aynı ilkel idempotentlere sahiptir. (b): Eğer G bir -k'- grup ise Z^B(A,G) ve QB(A, G) aynı ilkel idempotentlere sahiptir (c): Eğer G bir nilpotent grup ise Z^B(A, G) ve QB(A, K) 'nin ilkel idempo tentleri arasinda bire-bir eşleme yapabiliriz. Burada K G'nin biricik Hail -k'- alt grubudur. Anahtar sözcükler: Tek terimli Burnside Halkaları, hayalet halka, ilkel idem- potentler, infilasyon foksiyonu, stabil elemanlar foksiyonu, yörünge fonksiyonu, eşlenik foksiyonu, daraltma fonksiyonu, genişletme fonksiyonu, asal idealler, asal idealler spekturumu. iv

ABSTRACT ON MONOMIAL BURNSIDE RINGS Ergiin Yaraneri M.S. in Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Laurance J. Barker September, 2003 This thesis is concerned with some different aspects of the monomial Burnside rings, including an extensive, self contained introduction of the A- fibred G- sets, and the monomial Burnside rings. However, this work has two main subjects that are studied in chapters 6 and 7. There are certain important maps studied by Yoshida in [16] which are very helpful in understanding the structure of the Burnside rings and their unit groups. In chapter 6, we extend these maps to the monomial Burnside rings and find the images of the primitive idempotents of the monomial Burnside C- algebras. For two of these maps, the images of the primitive idempotents appear for the first time in this work. In chapter 7, developing a line of research persued by Dress [9], Boltje [6], Barker [1], we study the prime ideals of monomial Burnside rings, and the prim itive idempotents of monomial Burnside algebras. The new results include; (a): If A is a it- group, then the primitive idempotents of Z^)B(A, G) and Z(n)B(G) are the same (b): If G is a ir'- group, then the primitive idempotents of Z^B(A,G) and QB(A, G) are the same (c): If G is a nilpotent group, then there is a bijection between the primitive idempotents of Z^B(A, G) and the primitive idempotents of <QB(A, K) where K is the unique Hall ir'- subgroup of G. (Z(,r) = {a/b G Q : b £ Upe7rpZ}, it =a set of prime numbers). Keywords: Monomial Burnside rings, ghost ring, primitive idempotents, inflation map, invariance map, orbit map, conjugation map, restriction map, induction map, prime ideals, prime spectrum. iii