Fiber bundles, diffeomorphism groups and plasma dynamics

Abstract

Bu tezde, çarpışmasız plazma için hareket denklemleri olan Poisson-Vlasov denklem takımının Lie-Poisson formu ve bu formun geometrik altyapısı çalışılmıştır. Bu amaç doğrultusunda, ilk olarak simplektik ve Poisson katmanları, düzgün demetler üzerinde bağlantı ve simplektik indirgeme teoremi gözden geçirilmiştir. Bir düzgün demetin birinci jet uzayının elemanları, demet üzerinde bağlantı olarak kullanılmış ve vektör alanları dik temsiller ve holonomik parçaların direk toplamı olarak ifade edilmiştir. Vektör alanların ve bir-formların tam ve dik kaldırılışları tanımlanmış, ikinci derece demetler TT, T*T, TT* ve T*T*, birinci dereceden demetlerin T ve T* direk toplamları cinsinden ifade edilmiştir.Poisson denklemi Hamilton dinamiğinin ayar simetrisinden kaynaklanan momentum dönüşümünün düzenli bir noktadaki öngörüntüsü olarak elde edilmiştir. Kanonik dönüşümler grubu plazma hareketi için konfigurasyon uzayı olarak alınmış ve Poisson denkleminin Green fonksiyonu ile çözümü hesaplar için bir kısıt olarak kullanılmıştır. Kanonik dönüşüm grubunun Lie cebirini Hamiltonyen vektör alanları oluşturmaktadır. Bu cebirin dual uzayında standart Lie-Poisson denklemleri momentum-Vlasov denklem takımını vermektedir. Yüklü parçacığın faz uzayındaki hareketini yöneten Hamiltonyen vektör alanının tam kotanjant kaldırılışının dik temsilinin momentum-Vlasov denklemlerini ürettiği gösterilmiştir.Son olarakta, bir simplektik katman üzerindeki vektör alanları uzayı Hamiltonyen olan ve olmayan vector alanların oluşturduğu iki alt uzayın yarı-direk toplamı olarak ifade edilmiştir. Benzer olarak bir-form kesitlerin oluşturduğu uzay, kapalı olan ve olmayan bir form kesitlerin olusturduğu altuzayların direk toplamı olarak ifade edilmiş ve bu altuzayların üzerindeki cebirsel yapılar incelenmiştir.

In the thesis, we investigate the geometrical framework of the Lie-Poisson description of the Poisson-Vlasov equations which govern the motion of the collisionless plasma. To this aim, we review symplectic and Poisson manifolds, connections on smooth bundles and symplectic reduction theory. An element of the first order jet bundle can be considered as a connection and hence, decomposes vector fields into vertical representative and holonomic parts, which are generalized vector fields of order one. The complete and the vertical lifts of vector fields and one-forms are presented and, in the existence of a connection, the decompositions of iterated bundles TT, T*T, TT* and T*T* into the direct sums of the first order bundles T and T* are given.Poisson equation is obtained as the preimage of a regular value of a momentum mapping coming from the gauge invariance of the Hamiltonian dynamics. We take the configuration space of the collisionless plasma as the space of canonical diffeomorphisms and attach Green?s function solution of Poisson equation as a constraint in the calculations. Lie algebra of the group of canonical diffeomorphisms is the space of Hamiltonian vector fields. For the dual of the Lie algebra, there are two possibilities, namely density and momentum representations. From the Lie-Poisson formulation of Vlasov equation on the momentum representation, we obtain an intermediate system, which is called momentum-Vlasov equations. It is shown that, momentum-Vlasov equations are generated by the vertical representative of the complete cotangent lift of the Hamiltonian vector field whose associated Hamiltonian function is the energy of a charged particle in momentum phase space.The algebra of vector fields on a symplectic manifold is decomposed into semi-direct product algebra of Hamiltonian vector fields and its complement which is isomorphic to its dual, is presented. A similar discussion on the algebraic properties of the decomposition of the one-form section into closed and non-closed one-forms is made.