Geometry of second order degenerate lagrangians

Abstract

Bu tezin amacı ikinci derece Pais-Uhlenbeck, Sarıoğlu-Tekin and Clèment Lagrange fonksiyonlarıile üretilen dinamik sistemlerin Hamilton formülasyonlarını elde etmektir.Pais-Uhlenbeck, Ostrogradsky anlamında yozlaşmamış, fakat Sarıoğlu-Tekin and Clèmentyozlaşmış Lagrange fonksiyonlarıdır. Yozlaşmış sistemler için Legendre dönüşümleri direktolarak Hamilton resmini veremez. Bu tip durumlarda Dirac-Bergmann algoritması uygulanmasıgerekmektedir.Pais-Uhlenbeck, Sarıoğlu-Tekin ve Clèment dinamik denklemlerine karşılık gelen Hamiltontemsilleri bir kaç alternatif metod izlenerek elde edilcektir. Öncelikle, konfigürasyonuzayları, tanjant ve kotanjant demetleri belirlenecektir. Jacobi-Ostragradskii momentumdeğişkenleri aracılığıyla öncül kısıt altkatmanı tanımlanacaktır. Toplam Hamilton fonksiyonuyazılacaktır. Dirac-Bergmann algoritması çalıştırılacak ve bu şekilde son kısıt altkatmanıelde edilecektir. Algoritmanın her adımında ikincil kısıtlar eklenerek toplam Hamiltonfonksiyonu revize edilecektir. Son kısıt katmanı elde edildiğinde, Hamilton denklemlerineulaşmak artık kolaydır. Buraya kadar yapılan literatürdeki en temel yaklaşımdır. Hamiltontemsile ulaşmak için yapılan alternatif bir yaklaşım ise Dirac çerçevelerini yazmaktır. Sonkısıt altkatmanını belirleyen fonksiyonlar ilk ve ikinci sınıf olmak üzere ayrılacak, bu şekildeDirac çerçevesi tanımlanacaktır.İkinci derece Lagrange fonksiyonları ile çalışmaktansa, yeni koordinatlar ve Lagrange çarpımlarıaracılığıyla, ikinci derece Lagrange fonksiyonları birinci derece Lagrnage fonksiyonlarınaindiregenecektir. İkinci derece Lagrange fonsiyonu yozlaşmamış olsa bile, indirgenmişbirici derece Lagrange fonksiyonu yozlaşmış olacaktır. Bu durumda kaçınılmaz olarakDirac-Bergmann algoritması kullanılacak ve Hamilton denklemleri bu şekilde elde edilecektir.

The goal of this thesis is to present the Hamiltonian formulations of the dynamical systemsgenerated by the second order Pais-Uhlenbeck, Sarıoğlu-Tekin and Clèment Lagrangians.Pais-Uhlenbeck Lagrangian is non-degenerate in the sense of Ostrogradsky whereas Sarıoğlu-Tekin and Clèment Lagrangians are degenerate. For the degenerate or/and constraint systems,the Legendre transformation is not possible in a straight forward way. For the degenerate systems,one additionally needs to employ, for example, the Dirac-Bergmann algorithm in orderto arrive at the Hamiltonian picture.We shall follow several alternative methods while arriving at the Hamiltonian representationsof Pais-Uhlenbeck, Sarıoğlu-Tekin and Clèment dynamics. At first, we first shallidentify the configuration spaces, the tangent and the cotangent bundles. We shall first useJacobi-Ostragradskii momenta to define the primary sets of constraints. Accordingly, thetotal Hamiltonian will be written. The Dirac-Bergmann algorithm will be run in order toidentify the final constraint submanifold. In each step of the algorithm, we shall revise thetotal Hamiltonian by adding the secondary constraints. Once the final constraint set is determined,it is immediate to write the Hamilton's equations governing the dynamics. This is thefirst and most common way. An alternative way arriving at the Hamilton's equations is toconstruct the Dirac bracket. To do this, we shall first classify the constraints, determining thefinal constraint submanifold, into two classes, namely the first and the second. Then, usingthis classification, we shall define the Dirac brackets associated with the physical systems.There is an alternative way to arrive the Hamilton's equations. In this approach, instead ofstudying directly with the second order Lagrangians, we shall reduce the second order Pais-Uhlenbeck, Sarıoğlu-Tekin and Clèment Lagrangians to first order Lagrangians by introducingnew coordinates and Lagrange multipliers. In this case, the reductions will give degeneratefirst order Lagrangians even though the second order Lagrangian is non-degenerate. Weshall apply the Dirac-Bergmann algorithm for these first order formalisms in order to writethe Hamilton's equations.