Dynamics of classical Yang Mills fields coupled to Higgs field

Abstract

Klasik Yang Mills alanları lineer olmayan dinamik sistemler öğesinde incelenmiştir. Teorinin karmaşık kismi diferansiyel denklem setlerinden oluşmasına karşın, bazı özel durumlarda bu denklemlerden basit bir dinamik sistem elde etmek mümkün, ve bu sistemin hareket denklemleri sıradan diferansiyel denklemlerle tarif edilebilir. Nümerik olarak yapılan araştırmalar sonucunda, Yang Mills alanlarından elde edilen indirgenmiş sistemde kaosun varlığı saptanmıştır. Öte yandan Yang Mills alanlarına bağlanan Higgs alanı, kaosu stabilize etmektedir. Higgs alanının kaosu stabilize etmesindeki temel etken, Higgs alanının sistemin enerji denkleminde oluşturduğu harmonik salınıcı terimidir. Nümeerik olarak görülmüştür ki bu terimin katsayısı değiştirildiğinde sistemin davranışında ani bir değişim meydana gelmektedir. Öyle ki sabit bir enerjide bu katsayıdaki küçük bir artışın sistemdeki kaosu bastırdığı gibi periyodik ve periyodiğe yakın hareketler meydana getirmektedir. Yang Mills alanlarından elde edilen indirgenmiş sistem her ne kadar basit olsa da, çözümlerini sıradan fonksiyonlarla belirtmek mümkün değildir. Fakat pertürbasyon teorisi kullanılarak sistemin hareketi ile ilgili tahminler yapmak mümkündür. Bu amaçla Lie Dönüşüm pertürbasyon teorisi kullanılmıştır ki bu araç özellikle enerji korunumlu sistemler için idealdir. Uygulanan algoritma ile normalize edilmiş çözümlerin yanı sıra yaklaşık integraller bulunmuştur. Bu çözümler ve integraller seri açılımı ile ifade edilmişttir ve incelediğimiz sistemin simülasyonunda kullanılmıştır. Seri ifadelerin yakınsaklığının garantisi olmamasına rağmen, özellikle sistemde periyodik ve periyodiğe yakın hareketlerin hakim olduğu durumlarda nümerik sonuçlarla uyumlu neticeler elde edilmiştir.

Classical Yang Mills fields are analyzed in the context of nonlinear dynamical systems. Although the theory is described by complicated set of coupled partial differential equations, under specific ansatzes it is possible to obtain simpler dynamical system whose equations of motion can be represented by coupled ordinary differential equations. It is numerically shown that the reduced system possesses chaotic behaviour. On the other hand, the coupling of Higgs field stabilizes chaotic behavior of Yang Mills fields. This stabilization can be attributed to the additional harmonic oscillator part appearing in the Hamiltonian. It is numerically verified that the coefficient of harmonic oscillator term dramatically changes the behavior of the system corresponding to two different Yang-Mills-Higgs systems. For fixed energy, a small increase in the coefficient suppresses the chaos and the system is dominated with quasiperiodic and periodic solutions.Even if the reduced mechanical systems are simpler than the original ones, still it is not possible to express the solutions with elementary functions. But using perturbation theory one can make good prediction for dynamics of the system. For this purpose, Lie Transform perturbation theory is used which is a very efficient tool especially for Hamiltonian systems. With the implemented algorithm approximate integrals are constructed beside the normalized solutions. Those solutions and integrals are expressed as a series, and they are used to simulate the mechanical system. Although the convergence of series is not guaranteed they turn out to be in good agreement with the numerical results, especially for the periodic and quasiperiodic regimes.