Explicit construction of local class field theory via lubin-tate formal groups

Abstract

Sınıf cisim kuramı, cebirsel sayı kuramının, global cisimlerin Abelyen genişlemelerini deözel olarak inceleyen bir dalıdır. Diğer yandan, yerel sınıf cisim kuramı Helmut Hassetarafından ortaya atılmıştır ve yerel cisimlerin Abelyen genişlemelerini, taban cisim ile ilişkilinesneler yönünden incelemektedir. Bu kuram daha sonra Schmidt, Chevalley, Nakayama,Artin, Kato gibi çeşitli önemli matematikçiler tarafından geliştirilmiştir ve genelleştirilmiştir.Yerel sınıf cisim kuramının inşası için birçok yaklaşım bulunmaktadır: Hasse yaklaşımı,kohomolojik yaklaşım, Neukirch ve Hazewinkel'in apaçık yöntemleri vb. Eliptik eğrilerdekikarmaşık çarpım teorisine benzer şekilde, 1965'te yayınlanan makalelerinde, Lubin ve Tate,yerel cisimler üzerindeki formel grupların, yerel sınıf cisim kuramındaki temel teoremlerinkanıtlanması için kullanılabileceğini gösterdiler. Lubin-Tate formel gruplarını kullanarak,yerel cisimlerin Abelyen genişlemelerini üretmek için apaçık bir yol buldular. Bu tezdeLubin-Tate kuramını detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.

Class field theory constitutes a subsection in algebraic number theory which, in particular,investigates Abelian extensions of global fields. On the other hand, local class field theorywas introduced by Helmut Hasse and studies the Abelian extensions of local fields withrespect to the objects related to the ground field. It was later developed by various importantmathematicians such as Schmidt, Chevalley, Nakayama, Artin, Kato and others. There areseveral approches to local class field theory: Hasse approach, cohomological approach, theexplicit methods of Neukirch and Hazewinkel and others. Similar to the theory of complexmultiplication on elliptic curves, in their paper in 1965, Lubin and Tate showed that the maintheorems in local class field theory can be proved via formal groups over local fields. Usingthe Lubin-Tate formal groups, they found an explicit way of generating Abelian extensionsof local fields. Here, we will study Lubin-Tate theory in detail.