Kompleks düzlemin çeşitli bölgelerinde cebirsel polinomların davranışı

Abstract

/[/mathbb{C}/]- kompleks düzlem; /[G/,/subset /mathbb{C}/], /[L:=/partial G/] Jordan eğrisi ile sınırlı sonlu bir bölge ve $/Omega :=ext/overline{G}$ olsun. /[w=/Phi /left( z /right)/] ile /[/Omega /] bölgesini /[/Delta :=/left/{ w:/,/leftw /right>1/, /right/}/] bölgesine konform resmeden ve /[/Phi /left( /infty /right)=/infty ,/,/,/,/,{/Phi }'/left( /infty /right)>0/] koşullarını sağlayan dönüşüm gösterilsin./[{{A}_{p}}/left( G /right)/] ile /[/beta (0,z)/] bölgesinde analitik ve /[/left/f /right/_{{{A}_{p}}/left( G /right)}^{p}:=/iint/limits_{G}{{{/leftf/left( z /right) /right}^{p}}d{{/sigma }_{z}}}</infty /] koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfı işaret edilsin, burada /[/sigma /] ile /[G/] üzerinde tanımlı iki boyutlu Lebesque ölçüsü gösterilmektedir. $n$, bir doğal sayı olmak üzere, /[{{/zeta }_{1}}/] ile derecesi /[{{/zeta }_{2}}/]'yi aşmayan polinomlar sınıfı gösterilsin. Bilindiği gibi Bernstein-Walsh Lemması /[/left{{P}_{n}}/left( z /right) /right/le {{/left/Phi /left( z /right) /right}^{n+1}}{{/left/{{P}_{n}} /right/}_{C/left( /overline{G/,} /right)}}/,/,/,,/,/,/,z/in /Omega /](*) dir [1].Bu tezde; (*) eşitsizliği, sağ tarafındaki /[{{/left/{{P}_{n}} /right/}_{C/left( /overline{G/,} /right)}}/] sayısının /[{{/left/{{P}_{n}} /right/}_{{{A}_{2}}/left( G /right)}}/]sayısı ile değiştirilerek, kompleks düzlemin çeşitli bölgelerinde incelendi.Aynı zamanda $X$ ve $Y$, $G$ de tanımlı fonksiyonların normlu (veya yarı normlu) uzayları olmak üzere,/[{{/left/P_{n}^{/left( k /right)} /right/}_{X/left( Y /right)}}/le A/left( k,n,G /right){{/left/{{P}_{n}} /right/}_{Y}}/]şeklindeki eşitsizliklerin bulunması problemi incelendi. Burada /[A/left( k,n,G /right)/,/] genelde /[/,k,n/] ve /[G/]'ye bağlı sabittir.

Let /[/mathbb{C}/] denote the complex plane, $G/subset /mathbb{C}$ be a finite region whose boundary /[L:=/partial G/] is a Jordan curve. $/Omega :=ext/overline{G}$. Let /[w=/Phi /left( z /right)/] be the conformal mapping of /[/Omega /] onto the /[/Delta :=/left/{ z:/,/leftz /right>1/, /right/}/], normalized by /[/Phi /left( /infty /right)=/infty ,/,/,{/Phi }'/left( /infty /right)>0./] Let us denote by /[{{A}_{p}}/left( G /right)/] the set of functions /[f/] analytic in /[G/] and satisfying /[{{/left/f /right/}^{p}}_{A_{p}^{1}}:=/left/f /right/_{{{A}_{p}}/left( G /right)}^{p}:=/iint/limits_{G}{{{/leftf/left( z /right) /right}^{p}}d{{/sigma }_{z}}}</infty /], where /[/sigma /] is two-dimensional Lebesque measure. Let us denote by /[{{/wp }_{n}}/] the class of polynomials deg/[{{P}_{n}}/le n/,/,/,/left( n/in /mathbb{N} /right)/]. It is well known Bernstein-Walsh Lemma says: /[/left{{P}_{n}}/left( z /right) /right/le {{/left/Phi /left( z /right) /right}^{n+1}}{{/left/{{P}_{n}} /right/}_{C/left( /overline{G/,} /right)}}/,/,/,,/,/,/,z/in /Omega /](*)In this thesis, the inequality (*) has been investigated by replacing the number ${{/left/{{P}_{n}} /right/}_{C/left( /overline{G} /right)}}$ by ${{/left/{{P}_{n}} /right/}_{{{A}_{2}}/left( G /right)}}$ for some regions of complex plane.Moreover, the problem of finding/[{{/left/P_{n}^{/left( k /right)} /right/}_{X/left( Y /right)}}/le A/left( k,n,G /right){{/left/{{P}_{n}} /right/}_{Y}}/]type inequalities have been investigated, where $X$ and $Y$ are the normed (or seminormed) spaces of functions on $G$ and $A/left( k,n,G /right)$ is a constant which depends on $k,n,G$.