Bazı diferensiyel operatörlerin kök fonksiyonlar sistemleri üzere ayrışımların düzgün yakınsaklığı üzerine

Abstract

Bu tez çalışmasında, $/lambda $ spektral parametresini sırasıyla lineer ve rasyonel biçimde sınır koşullarının birinde içeren aşağıdaki sınır değer problemleri ele alınmıştır:$q/left( x /right)/in C/left[ 0,1 /right]$reel değerli bir fonksiyon,$a$ ve $b$reel sabitler ve $a<0$ olmak üzere/[/begin{matrix} -{y}''+q/left( x /right)y=/lambda y,/text{ }0<x<1, // y/left( 0 /right)/cos /beta ={y}'/left(0 /right)/sin /beta ,/text{ 0}/le /beta /text{}/pi ;/text{ }{y}'/left( 1 /right)=/left( a/lambda +b /right)y/left( 1 /right), /end{matrix}/]$q/left( x /right)/in C/left[ 0,1 /right]$ reel değerli bir fonksiyon, tüm katsayılar reel ve $a/ge 0$, ${{b}_{k}}>0$ /[/left( k=/overline{1,n} /right)/], /[{{c}_{1}}<{{c}_{2}}<...<{{c}_{N}}/], /[N/ge 0/] için /[/tilde{h}/left( /lambda /right)=a/lambda +b-/sum/limits_{k=1}^{N}{/frac{{{b}_{k}}}{/lambda -{{c}_{k}}}}/] olmak üzere/[/begin{matrix} -{y}''+q/left( x /right)y=/lambda y,/text{ }0<x<1, // y/left(0 /right)/cos /beta ={y}'/left( 0 /right)/sin /beta ,/text{ 0}/le /beta /text{}/pi ;/frac{{y}'/left( 1 /right)}{y/left( 1 /right)}=/tilde{h}/left( /lambda /right). /end{matrix}/]Yukarıda bahsedilen sınır değer problemlerinin özdeğer ve özfonksiyonlarının kesinleştirilmiş asimptotik formülleri elde edilmiştir. Daha sonra, seçilmiş kök fonksiyonlar sistemi (ikinci problemde yalnızca özfonksiyonlardan oluşur) üzere sürekli fonksiyonların Fourier seri ayrışımlarının düzgün yakınsaklık koşulları incelenmiştir.

In this thesis, the following boundary value problems which is respectively included spectral parameter depending on linearly and rationally in one boundary condition are considered:/[/begin{matrix} -{y}''+q/left( x /right)y=/lambda y,/text{ }0<x<1, // y/left( 0 /right)/cos /beta ={y}'/left( 0 /right)/sin /beta ,/text{ 0}/le /beta /text{}/pi ;/text{ }{y}'/left( 1 /right)=/left( a/lambda +b /right)y/left( 1 /right) /end{matrix}/]where $q/left( x /right)/in C/left[ 0,1 /right]$ is real valued function,$a$and $b$are real constant and $a<0$;/[/begin{matrix} -{y}''+q/left( x /right)y=/lambda y,/text{ }0<x<1, // y/left( 0 /right)/cos /beta ={y}'/left( 0 /right)/sin /beta ,/text{ 0}/le /beta /text{}/pi ;/text{ }/frac{{y}'/left( 1 /right)}{y/left( 1 /right)}=/tilde{h}/left( /lambda /right) /end{matrix}/]where $q/left( x /right)/in C/left[ 0,1 /right]$ is real valued function, /[/tilde{h}/left( /lambda /right)=a/lambda +b-/sum/limits_{k=1}^{N}{/frac{{{b}_{k}}}{/lambda -{{c}_{k}}}}/] with the real coefficients and $a/ge 0$, ${{b}_{k}}>0$ /[/left( k=/overline{1,n} /right)/], /[{{c}_{1}}<{{c}_{2}}<...<{{c}_{N}}/], /[N/ge 0/]. The sharpened asymptotic formulae for eigenvalues and eigenfunctions of the above-mentioned boundary value problems are obtained. Then, the conditions of the uniform convergence of Fourier series expansions for the continuous functions in terms of selected root functions, only in terms of eigenfunctions in second problem, are investigated.