Bertrand eğri çiftleri üzerine genelleştirmeler

Abstract

ÖZET Bu çalışmada aşağıdaki hususlarda yazılan makaleler üzerinde çalışarak} (i) n-boyutlu öklid uzayında, Bertrand eğilerinin kar şılıklı noktalarında yer alan teğet vektörler arasındaki açı ların ölçülerinin, yüksek mertebeden eğriliklerinin çarpımı nın ve eşlenik aralıklarının çarpımının sabit olduğu görülmüş; 3 (ii) Böylece E de bilinen Schell ve Manheim teoremleri genelleştirilmiş. (iii) Çalışmanın esasını E uzayında genel eğilim çiz gileri olarak Bertrand Eğrilerinin bir genelleştirilmesi teş kil ettiğinden (r, m) -Bertrand Eğri Çift ve (r, m) -Bertrand Rep- resentasyonu tanımlanmış» (iv) Eğilim çizgilerinin klasik diferensiyel geometri deki tanımı ile yeni tanımı karşılaştırılarak (r,m)-Betrand eğrilerinin birer helis eğrisi oldukları açıklanmıştır. Ayrıca (r, m) -Bertrand Representasyonunun küresel ol duğu da ortogonal üstel matris yardımıyla ispatlandı. Aynı önermelerin farklı ispatları daha sonraki ispatların yapıla bilmesi için kullanıldı. I. Bölümde çalışmanın esasını meydana getiren II. bölü mün anlaşılmasını temin için temel kavramlar verilmiştir. -II-II. Bölümde [1], [ 2], [ 9] ve [10] dan yararlanarak Bertrand Eğri çiftlerine dair bazi bilinen özellikler üzerin de duruldu.

ABSTRACT In this work we obtained the following results by studying the papers related to thise results. (i) It is observed that in a n-dimensional Euclidean Space the values of the angles between the tangent vectors at the corresponding points of Betrand Curves are constant. (ii) Thus the known theorems of Schell and Manheim a in E`* are generalized. (iii) The main object of this study is the generali zation of Bertrand Curves as general inclined Curves in E. Here the concepts of (r,m) -Pairs of Bertrand Curves and Bertrand Representation are defined. (iv) By companing this new definition with the existing definition of inclined carves in Classical Differential Geometry, it is proved that Bertand Curves are Helicial Curves In addition, it is also proved by the help of orthogonal exponential matrix that an (r,m) -Bertrand Representation in spherical. In chapter I some basic concept are collected that are needed in Chapter II. In Chapter II, some known propertion of Bertrand curve couples are studied by concidering [1], [ 2], [9] and [ 10]. -Ill-