Newtonyen olmayan analiz ve çeşitli uygulamaları

Abstract

1967-1970 yılları arasında M. Grossman ve R. Katz, doğurucu fonksiyonlarla, klasikte bilinen toplama ve çarpma işlemleri ile çıkarma ve bölme işlemlerinin birebir rollerini değiştirip türevi ve integrali yeniden yorumlayarak çarpımsal hesap adlı bir hesap tarzı geliştirdiler. Sonrasında bu doğurucu fonksiyonların seçimine bağlı olarak elde edilen tüm hesap tarzlarını, Newtonyen olmayan hesap adı altında birleştirdiler. Bu tez çalışmasında Newtonyen olmayan hesabın temel özellikleri ve bu yapının klasik hesaplama tarzıyla olan ilişkileri incelenmektedir. İlk olarak tek bir üretece bağlı olan hesaplama tarzı kullanılarak fonksiyonel analizin önemli bazı önemli eşitsizlikleri verilmektedir. Ayrıca farklı üreteçler seçilerek bu yapıda bazı uygulamalar ele alınmaktadır. Newtonyen olmayan hesaplamalardan biri olan ve yıldız aritmetik adı verilen hesaplama tarzı kullanılarak kompleks cisim üzerinde tanımlı bazı dizi uzayları ve dualleri tanımlanmaktadır. Bunun yanında sonsuz matris yapısı inşa edilerek tanımlanan dizi uzayları arasındaki bazı matris dönüşümlerinin sınıflandırması yapılmaktadır. Vektör uzay ve iç çarpım uzaylarının Newtonyen olmayan manada karşılıkları inşa edilip bazı geometrik özellikler gösterilmektedir. Özellikle klasik analizde iyi bilinen ağırlıklı ortalama kavramları genelleştirilerek farklı üreteçlere bağlı olarak yeni türde ağırlıklı ortalamalar elde edilmektedir.

In the period from 1967 to 1970 M. Grossman and R. Katz gave the definitions of a new kind of derivative and integral, moving the roles of subtraction and addition to division and multiplication, and thus established a new calculus, called multiplicative calculus. Later, the family of the calculi which is depending on the choice of generating functions were combined under the name of non-Newtonian calculus. In this thesis the basic properties of non-Newtonian calculus and the relationship between its and classical calculus are examined. First of all by using only one generator some important inequalities of functional analysis are given. Moreover, some applications are introduced in this type calculus. By using the *-calculus which is a branch of the non-Newtonian calculi certain sequence spaces over the complex field and its duals are defined. Further the notion of infinite matrices are established and the characterizations of matrix transformations between these sequence spaces are presented. Besides this the concepts of vector space and inner product space in the sense of non-Newtonian mean are constructed and some geometric properties are shown. In particular depending on the choice of different generator functions the well-known notions i.e. weighted mean are generalized and a new kind of weighted means are obtained.