Biyolojik bir konstrüksiyon elemanı için matematiksel modelleme

Abstract

m ÖZET Tek fiber ailesi ile takviye edilmiş viskoelastik ve piezoelektrik özellik taşıyan bir biyolojik yapı elemanının nonlineer davranışı modem sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak incelenmiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve ikinci kanunlarının birleştirilmiş şekli, serbest enerji fonksiyonunun zamana göre maddesel türevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonksiyonunun bağımsız değişkenleri ; Green deformasyon tansörü, Green deformasyon tansörünün türevi, sıcaklık, fiber vektörü ve elektrik alan vektörü olarak belirlenmiştir. Maddesel ortamın normal olarak belli bir simetri grubu olduğu, ayrıca fiber dağılımından kaynaklanan kuvvetli bir anizotropi gösterdiği varsayılmıştır. Termodinamik kısıtlamaların neticesi olarak serbest enerji fonksiyonunun bir simetrik tansör ile iki polar vektöre bağlı olduğu, dissipatif gerilme fonksiyonunun ise iki simetrik tansör ile Uri polar vektöre bağlı olduğu görülmüştür. Maddesel simetri aksiyonu kullanıldıktan sonra, uygulamalarda makul kabuller olarak görülen ortamın sıkışmazlığı ve fiber ailesinin uzamazlığnu göz önüne alarak gerilme ve polarizasyona ait bünye denklemleri bulunmuştur. tik önce, matris malzemesinin izotrop olma özelliğini dikkate alıp, invaryantlar teorisini kullanarak fiber takviyeli, viskoelastik ve dielektrik özellikli bir ortamın nonlineer elektromekanik davranışını belirleyen bünye denklemleri elde edilmiştir. Sonra, matris ortamın izotrop olma kısıtlaması bir yana bırakılarak genel anizotrop bir ortam için elastik gerilme, polarizasyon alam ve dissipatif gerilme için nonlineer bünye denklemleri elde edilmiştir. Bu yaklaşım çerçevesinde serbest enerji ve dissipatif gerilme fonksiyonu bağlı olduğu argümanlara göre bir kuvvet serisi açılımı ile temsil edilmiş ve bu seri açılımında dikkate alınan terimlerin türü ve sayısı ortamın nonlineerlik mertebesini belirlemiştir. Her iki yaklaşımda da mekanik etkileşimlerin lineer, elektromekanik etkileşimlerin nonlineer olduğu kabul edilmiş ve matris malzemesi fiber boyunca yön değişimine duyarsız kaldığından fiber vektörünün dış çarpımından kaynaklanan bileşenlerin sadece çift sayıda olanları dikkate alınmıştır. Bu basitleştirici kabullere rağmen anizotropik ortamlar için elde edilen bünye denklemlerinde 5. ve 6. mertebeden malzeme tansörleri ortaya çıkmaktadır. Bu malzeme tansörlerinin tespiti ve uygulamaya dönük problemlerde kullanılması pratikte çok zor ve karışık olduğundan bünye denklemleri lineerleştirilmiştir. Daha sonra malzemenin Hegzagonal (Cö) bir simetriye sahip olduğu düşünülerek malzeme tansörlerine ait formlar belirlenmiş ve bünye denklemleri bu formlara göre yazılmıştır. Son olarak, uzaysal koordinatlarda elde edilen lineer bünye denklemleri Cauchy hareket denklemi ve toplam elektriksel yer değiştirme vektörü ifadesinde yerine yazılıp alan denklemleri bulunmuştur. ANAHTAR KELİMELER : Anizotropi, Bünye Denklemleri, Deformasyon, Gerilme, İzotropi, Lineerleştirme, Maddesel ve Uzaysal Koordinatlar, Polarizasyon, Sürekli Ortam, Viskoelastisite.

IV ABSTRACT In the frame of Modern Continuum Mechanics, nonlinear behavior of biologic structural elements with viscoelastic and piezoelectric properties and reinforced with a single family of inextensible fibers has been studied. Second law of thermodynamics, combined with the first law and consistent with mechanical balance laws, has been written in terms of the time rate of free energy function. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor, its rate, and two other vectors representing fiber distribution and electric field in the reference state. The material is supposed to be strongly anisotropic due to fiber distribution, with the matrix material being supposed to have any material symmetry. After the thermodynamical constraints, we have shown that free energy function depends on a symmetric tensor and two polar vectors, and dissipatif stress function depend on two symmetric tensor and two polar vectors. Using the material symmetry axioms and considering incompressibility of medium and inextensibility of fiber family, these assumptions are fairly meaningful for the practical applications. Constitutive equations of stress and polarization fields have been obtained. Firstly, considering of isotropic matrix material and using the theory of invariants, constitutive equations of nonlinear electromechanical behavior for fiber reinforcement, with viscoelastic and dielectric properties of biological composite medium, were obtained. Then, regardless of isotropy constraints for matrix materials, for a general anisotropic medium, nonlinear constitutive equations of elastic stress, polarization field and dissipatif stress have been found. In this perspective, free energy and dissipatif stress function consistent with our own arguments have been represented with an expansion of power series. The kind and number of terms, in this series, determine the nonlinearity - degree for material. It is assumed that mechanical interactions are linear, and electromechanical interactions are nonlinear in both approximation. Even numbers of components resulting from outer products of fiber vectors must be considered only since matrix materials do not sense variation of direction along the fiber path. In spite of the relevant simplified assumptions, 5 and 6 order material tensors appear in the constitutive equations of anisotropic materials. Because of the difficulties determining and using these material tensors in the applications, constitutive equations were linearized. Assuming that the material has hegzagonal (Co) symmetry group, forms of material tensors are determined and constitutive equations have been re-written in new forms. At last, constitutive equations in the spatial coordinates have been used in the balance laws and field equations are obtained. KEY WORDS: Anisotropy, Constitutive Equations, Continuous Medium, Deformation, Isotropy, Linearization, Material and Spatial Coordinates, Polarization, Stress, Viscoelasticity.