Eşlenmiş asimptotik açılım metodu ve metodun uygulamaları

Abstract

Matematikte, fizikte ve uygulamalı bilimlerin birçok alanındaanalitik olarak çözülemeyen ya da klasik yöntemlerle gerçek çözümünün bulunması çok zor olan denklemlerle karşılaşılır. Bu denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması için nümerik çözümler ve pertürbasyon metotlar kullanılır. Pertürbasyon metotların nümerik yöntemlerden en önemli farkı ise, diferansiyel denklemde var olan ya da bizim yerleştirdiğimiz çok küçük bir pozitif ?katsayısı kullanılarak yaklaşık çözüm elde etmesidir.Pertürbasyon metotlardan biri olan Eşlenmiş Asimptotik Açılım metodu özellikle finans mühendisliğinde ve fizikte kullanılan bir metottur. Bu metodun diğer yaklaşık çözüm bulma metotları ile karşılaştırıldığında en büyük artısışudur;diğer metotlar ani değişim bölgelerinde iyi sonuç vermezlerken eşlenmiş asimptotik açılım metodu ani değişimin görüldüğü noktalarda da diğer noktalarda olduğu kadar iyi sonuçlar verir. Eşlenmiş asimptotik açılım metodunda öncelikle orijinal değişkenleri kullanarak klasik bir açılım belirlenir. Bu açılıma dış çözüm denir. Daha sonra ise daha büyük ölçekler kullanabilmek için değişken değiştirerek ani değişim noktaları için kullanılacak bir başka açılım daha bulunur. Bu açılıma da iç çözüm denir. Bu açılımlar arasında bağlantı kurabilmek için de eşleme yapılır.Bu tezin amacı Eşlenmiş Asimptotik Açılım Metodunu detayları ile açıklamak ve uygulamaları hakkında bilgi vererek farklı alanlarda kullanılabilmesine olanak sağlamaktır.Bu tezin giriş bölümünde pertürbasyon metotların temelinde yer alan önemli terimlerin tanımları yapılmıştır. Bu terimler arasında analitik fonksiyon, regüler ve singüler nokta, Taylor Serisi ve L'Hospital teoremi, mertebe, asimptotik yaklaşım, Asimptotik açılım,cebirsel ve cebirsel olmayan fonksiyonların asimptotik çözümleri vardır. İkinci bölümünde literatür çalışması sonucunda elde edilen bilgiler özet halinde sunulmuştur. Üçüncü bölümünde ise Eşlenmiş Asimptotik Açılım metodu kapsamlı olarak ele alınmış ve uygulamaları hakkında bilgi verilmiştir. Tek sınır koşulu olduğu durumlar, çoklu sınır koşulu olduğu durumlar, iç katmanların olduğu durumlar, dış katmanların olduğu durumlar ayrı ayrı incelenmiş ve kapsamlı açıklamalarla uygulamalarıyapılmıştır. Yine bu bölümde Newton'un ikinci hareket kanunu için eşlenmiş asimptotik açılım metodu ile yaklaşım çözüm bulunmuştur. Tezin dördüncü bölümünde ise eşlenmiş asimptotik açılım metodunun önemi anlatılmış ve metot ile alakalı çıkarımlara yer verilmiştir.Anahtar kelimeler: Eşlenmiş asimptotik açılım, Van Dyke'ın eşleme prensibi, asimptotik genişleme, Pertürbasyon metotlar, yaklaşık değer bulma, Newton'un ikinci hareket kanunu.2014, 75 sayfa

In mathematics, physics and several other applied sciences one encounters equations impossible or nigh impossible to solve analitically. In order to find approximate solutions to these equations, numerical approximations and perturbation methods are employed. The key difference of perturbation methods from numerical approximations is the use of an infinitesimal ? value, which could be naturally found in differential equations or could be inserted methodicallly.Matched Asymptotic Expansion Method, one of these perturbation methods, is used especially in computational finance and physics. Difference of this perturbation method is, while other methods don't give accurate results in the areas of sudden changes, it provides accurate results in these areas as well. In Matched Asymptotic Expansion Method, firstly, by using original variables, a classical expansion is determined. In order to use higher scales, with the help of variables changes, another expansion is determined for sudden change areas. Then, a mapping is done between the two expansions in order to link the two expansions.Aim of this thesis is to explain the Matched Asymptotic Expansion Method in detail and provide information in its applications in order to give insight for other possible fields of application.In the first part of the thesis some important terms used in perturbation methods is explained. Among these terms are analytical functions, regular and singular points, Taylor series expansions and L'Hopital theorem, rank, asymptotic convergence, asymptotic expansion, correctness values of asymptotic expansions, solutions t algebraic and non-algebraic functions. In the second part a summary of literature research is provided. In the third part, a detailed study of Matched Asymptotic Expansion Method and its applications is given. Thesis is enhanced by including expansive explanations of single constraint cases, multiple constraint cases, existence of inner layers and outer layers. Then, in the forth part, importance of Matched Asymptotic Expansion Method is explained and arguments are given.Keywords: Matched asymptotic expansion, asymptotic spreading, perturbation methods, approximation2014, 75 page