Bazı Painlevè ve salınım diferensiyel denklemlerin Magnus seri açılımı metodu ile nümerik çözümleri

Abstract

Bu tez çalışmasında öncelikle konunun tarihsel gelişimi anlatılmıştır. Daha sonra Lie grubu, Lie cebiri ve Magnus seri açılımı ve difereansiyel geometrinin temel tanım ve teoremleri hatırlatılmış ve matris üstel tasvirinin tanımı verilerek, lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı yöntemi incelenmiştir. Literatürde Magnus seri açılımı yönteminin uygulanmadığı fiziksel uygulamalarda ve mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkan lineer ve lineer olmayan salınım adi diferansiyel denklem ve denklem sistemleri ile 1. ve 2. Painlevè denklemleri ele alınmış ve bu denklemler Magnus seri açılımı yöntemi ile çözülmüştür. Elde edilen çözümler varsa analitik kesin çözümlerle, yoksa Runge Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerle karşılaştırılmıştır.

In this thesis, firstly the historical progress of the subject is considered. Then some basic definitions and main theorems of Lie group, Lie algebra, Magnus series and differential geometry are recalled. In addition essential definitions and theorems of a matrix exponential mapping are given. The Magnus series expansion method for linear and nonlinear ordinary differential equations is investigated. At the end, first & second Painlevè equations and linear & nonlinear oscillatory ODEs that occur in physical and engineering applications, in which Magnus series expansion hasn't been applied, are considered and numerical solutions for these equations are obtained by Magnus series expansion method. The results are compared with exact analytical solutions and the solutions obtained by Runge Kutta method.