Optimal control in nonlinear elliptic systems

Abstract

ÖZET DO?RUSAL OUWAN ELİPTİK SİSTEMLERDE OPTIMAL KONTROL LEBLEBİCÎÛ?LU, M. Kemal Doktora Tezi, Matematik Bölümü Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Okay Çelebi Şubat 1988, 157 sahife Eliptik diferansiyel denklemlerle ifade edilen sistemlerin optimal kontrolü tamamen incelenmiş olmakla beraber nümerik sonuç sa yısı orantılı olarak çok azdır. Doğrusal olmayan sistemlerde, hem teorik hem de nümerik çalışmalar eşit olarak ihmal edilmiştir. Bu çalışmada linear sistemlerin optimal kontroluna ait bazı sonuçlar, doğrusal olmayan sistemlere genellenmiştir. Bu genelleme, doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin teorisindeki standart yöntemler kullanılarak yapılmıştır. Optimal kontrolların varlığı gösterildik ten sonra, sonlu eleman! er yöntemi kullanılarak problem sonlu boyut lu hale getirilmiştir. Sonuçta oluşan sonlu boyuttaki optimizasyon problemi özel bir yöntemle çözülmüştür. Teorik incelemeler, eleman boyutu sıfıra giderken yaklaşık çözümlerin asıl problemin çözümüne yaklaştığının gösterilmesi ile tamamlanmıştır. Son olarak biyomedi- kal mühendislikte ortaya çıkan bir sistem özdeşlemesi problemi fonk siyonel analiz yöntemleri kullanılarak incelenmiştir. Çalışma, bazı nümerik sonuçların sunulması ve sonuçların yorumlanması ile bitiril miştir. Anahtar sözcükler: optimal kontrol, doğrusal olmayan eliptik sistem, nümerik çözüm ve sistem özdeşlemesi. -iv-

ABSTRACT OPTIMAL CONTROL IN NONLINEAR ELLIPTIC SYSTEM LEBLEBtCÎO?LU, M. Kemal Ph.D. in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Okay Çelebi February 1988, 157 pages The optimal control of systems governed by linear elliptic partial differential equations has been fully investigated, however, there are relatively few numerical computations. As regards nonlinear systems both aspects of the subject appear to be equally neglected. In this study some of the results for optimal control of linear elliptic systems have been generalized to the nonlinear case. This was achieved by employing standard techniques of the nonlinear theory. After demonstrating the existence of the optimal controls, finite element methods were used to effect the discretization of the optimal control problem. The resulting finite dimensional problem was solved by a special approach. The theoretical investigations were completed by proving that approximate solutions reduce to exact solu tions when the mesh size tends to zero. Finally an identification problem arising in biomedical engineering within the framework of functional analysis was considered. This study was closed by a pre sentation and discussion of several related numerical results. Key words: optimal control, nonlinear elliptic systems, numerical solution and system identification. -m-