The Dirichlet problem for the biharmonic equation in a C1 domain in the plane

Abstract

ÖZET DÜZLEMDE C* SINIFINDAN BÖLGELERDE BİHARMONİK DENKLEM ÎÇÎN DlRICHLET PROBLEMİ FARAMARZ, Tahamtani Yüksek Lisans Tezi, Matematik BöTümü Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Okay Çelebi Temmuz 1988, 111 sahife Bu çalışmanın ana hedefi C sınıfından bir ti <= (R2 bölgesin de tanımlı olan ve sınır verileri lÇ(M) x Lp(3fi), p > 1 uzayında tanımlanan biharmonik denklem için Dirichlet probleminin ayrıntılı bir irdelenmesini vermektir. Araştırmamızda sonuç olarak şunu kanıtlamış olacağız. Tke.on.omi ti<=-^, basit bağlantılı C1 sınıfından bir bölge ve fd.P(^) ve geLp(8Q) olsun. Bu takdirde ti üzerinde A2u = 0 olan ve ? uL = f ve u L~ = g koşullarını sağlayan bir u fonksi- oıl, n ' du yonu vardır. Daha kesin bir deyişle, u ve u, dti üzerinde hemen hemen her yerde sırasıyla f ve g ye eşit olan teğetsel olmayan limitlere sahiptir. Teoremin ispatı iki kısma ayrılmıştır, ilk kısımda hemen hemen her yerde x -> pedti için teğetsel olmayan limitlere sahip olan û(x) çok katlı potansiyelini tanıtıyor ve analiz ediyoruz. Limit olarak elde edilen sınır değerlerinin, B den kendisi üzerine bir tıkız operatör olmak üzere (I + H)f şeklinde yazılabildiğini gösteriyoruz. -iv-Sonraki -âdımda, Fredholm teorisini uygulayarak {i + H) nin _ı. tersinin var olduğunu ispatlıyoruz. Bu teknik, çözümün (I + H) f çok katlı potansiyeli tarafından verildiğini göstermektedir. Anahtar kelimeler: Dirichlet problemi, biharmonik denklem, çok katlı potansiyel.

ABSTRACT The Dirichlet Problem for the Biharmonic Equation in a C1 Domain in the Plane FARAMARZ, Tahamtani M.S. Thesis in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Okay Çelebi June 1988, 111 pages This work is a survey whose principle aim is to give a detailed study of the Dirichlet problem for the biharmonic equation in a C -domain ficp2 with boundary data in the space lÇ(3J2) xLp(3(l), p >1. The problem that we investigate ultimately is to prove the following: ? Tn-eorem. Let fl be a simply connected C -domain in p2. Let' ? f eL^{ dQ.), geL^( 95i). Then there exists a function u with a2u = 0 in n, uLn = f and 9 u.n = g. More precisely, u and its inner normal oh n ' ail derivative 3 u have non-tangential limits a.e. on 9ft (with respect to are length measure) equal to f and g respectively. The proof is divided into two steps. In the first step we introduce and analyze the multiple layer potential û(X) which has non-tangential limits almost every where as x -> 9ft. These boundary values can be written in the form (I + f/)f where H isa compact operator from the set of compatible triples 6 into itself, Th^ next step is an application of the Fredholm theory to prove (I + H) is invertible. This technique show that the solution is given by the multiple layer potential of (I + H')`1f. Key words: Dirichlet problem, biharmonic equation, multiple layer potential -m-