İkinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip diferansiyel denklemlerin q-homotopi analiz dönüşüm metodu ile sayısal çözümleri

Abstract

Bu tezde, ikinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip diferansiyel denklemlerin q-Homotopi analiz dönüşüm metodu (q-HATM) yöntemi ile sayısal çözümleri yapılmıştır. q-Homotopi analiz metodu ile Laplace dönüşüm metodunun birleştirilmesiyle oluşan q-Homotopi analiz dönüşüm metodu kısmi ve adi diferansiyel denklemlerin geniş bir sınıfına uygulanabilir. Çalışmada öncelikle q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun kullanım alanları ve tarihsel sürecinden bahsedilmiştir. Ayrıca q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun, homotopi analiz metodu, q-Homotopi analiz metodu ve Laplace dönüşüm metodu ile arasındaki bağlantılar açıklanmıştır. Ardından, q-Homotopi analiz dönüşüm metodu ile ilgili temel kavramlardan, Ricatti diferansiyel denklemlerinden, Fisher denklemlerinden, Burgers-Fisher denklemlerinden, Van der Pol-Duffing denklemlerinden ve Klein Gordon denklemlerinden bahsedilmiştir. Daha sonra q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun ikinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip diferansiyel denklemlere uygulanma metodu açıklanmıştır. Uygulanan bu metot aracılığıyla ikinci dereceden lineer olmayan terimlere sahip Ricatti diferansiyel denklemler ile Fisher denklemlerinin yakınsak seri çözümleri elde edilmiş ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip Burgers-Fisher denklemleri, Van der Pol-Duffing denklemleri ve Klein Gordon denklemlerinin de çözümleri bulunmuştur. Son olarak önerilen metodun güvenilirliğini göstermek için hata analizi yapılarak bulunan sonuçlar grafikler ile gösterilmiş ve yorumlanmıştır.

In this thesis deals with the solutions of differential equations having quadratic and cubic nonlinearity obtained by the q-homotopy analysis transform method (q-HATM). The q-HATM, combined by the q-homotopy analysis method and Laplace transform method, can be applied to a wide class of the partial and ordinary differential equations. In study, firstly, the usage areas and the historical process of q-HATM are examined. In addition, the connections between q-HATM, homotopy analysis method, q-Homotopy analysis method and Laplace transformation method are explained. Thereafter, the basic concepts of q-HATM, Ricatti differential equations, Fisher equations, Burgers-Fisher equations, Van der Pol-Duffing equations and Klein Gordon equations are mentioned. Then the method of applying the q-HATM for differential equations with having quadratic and cubic nonlinearity terms is explained. Through this method, convergent series solutions of Ricatti differential equations and Fisher equations having quadratic nonlinearity and numerical solutions of Burgers-Fisher equation and Van der Pol-Duffing equation having cubic nonlinearity are obtained. Finally, in order to reliability of the q-HATM, error analysis are performed and the results are shown and interpreted with graphs.