Lerch ve Pell polinomlarının matris özellikleri ve lineer kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları

Abstract

Bu tezde, lineer kısmi diferansiyel denklemlerin Cauchy, Dirichlet, Neumann veya Robin koşulları altında, yani Cauchy, Dirichlet, Neumann ya da Robin problemlerinin, yaklaşık çözümlerini bulmak için Lerch polinomlarına dayalı matris sıralama yöntemi ve Pell polinomlarına dayalı matris sıralama yöntemi geliştirilmiştir. Kullanılan yöntemlerde, çözümün katsayıları matris formuna, yani karşı gelen cebirsel bir denklem sistemine, indirgenerek problemlerin yaklaşık çözümlerine ulaşılmıştır. Elde edilen sonuçlardan, önerilen yöntemlerin uygulanmasının etkili ve kolay olduğu gözlemlenmiştir.Çalışmada ilk olarak, kısmi diferansiyel denklemlerin fen ve mühendislik alanlarındaki kullanımı, tarihsel gelişim süreci ve çözüm yöntemleri incelenmiştir. Daha sonra, kısmi diferansiyel denklemlerin genel bilgileri, Lerch polinomlarının tanımı ve grafikleri ile beraber Pell polinomlarının tanımı ve grafikleri verilmiştir. Ardından, Bahsedilen polinomların ve türevlerinin temel matris bağıntıları kullanılarak, lineer kısmi diferansiyel denklemler için, sırasıyla, Lerch matris sıralama yöntemi ve Pell matris sıralama yöntemi açıklanmıştır. Ayrıca, Laplace, Poisson, Helmholtz, telgraf, konveksiyon difüzyon, 1-boyutlu ısı, sönümlü dalga, titreşim gibi lineer kısmi diferansiyel denklemlerin Cauchy, Dirichlet, Neumann veya Robin koşulları altındaki nümerik çözümleri için örnekler verilmiştir. Önerilen yöntemlerin etkinliğini ve güvenilirliğini göstermek için rezidüel hata analizi yapılarak, elde edilen sonuçlar tablo ve grafikler ile açıklanmış; irdelenmiş ve yorumlanmıştır.

In this thesis, a matrix collocation method based on Lerch polynomials and a matrix collocation method based on Pell polynomials are developed to obtain the approximate solutions of linear partial differential equations under the Cauchy, Dirichlet, Neumann or Robin conditions, which correspond to Cauchy, Dirichlet, Neumann or Robin problems. In used methods, the coefficients are reduced to the matrix forms, which correspond to the system of algebric equations and the approximate solution of the problem is reached. From the obtained results, it is observed that implementation of the proposed methods is efficient and easy.In study, firstly, utilization in the fields of the science and engineering, the historical development process and the solution methods of the partial differential equations are examined. Thereafter, general information of partial differential equations, definition of Lerch polynomials and their graphics along with definition of Pell polynomials and their graphics are given. Behind, by using matrix relations of the mentioned polynomials and their derivatives, Lerch matrix collocation method and Pell matrix collocation method are explained for linear partial differential equations, respectively. Also, numerical examples are performed for linear partial differential equations as Laplace, Poisson, Helmholtz, telegraph, convection diffusion, 1-D heat, damped wave, vibration, under the Cauchy, Dirichlet, Neumann and Robin conditions. Some numerical examples together with residual error analysis are performed to illustrate the efficiency of the method and the obtained results are scrutinized and interpreted.