Grup halkalarında nilpotent, idempotent ve birimsel elemanlar

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, sonraki bölümler için gerekli olan bazı temel tanım ve teoremler sunulmuştur. İkinci bölümde, literatürdeki ilgili çalışmalar geniş bir şekilde sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tezde kullanılan materyal ve yöntem verilmiştir.Dördüncü bölümde, tezde orijinal olarak elde edilen sonuçlar, tanımlar ve teoremler bulgular başlığıyla üç alt bölüm şeklinde verilmiştir. Bu alt bölümlerin ilkinde, bazı direkt çarpım gruplarının değişmeli grup halkalarındaki tüm normallenmiş birimsel elemanların G×H-nilpotent birimsel elemanlar olabilmesi için gerek ve yeter şartlar verilmiştir.İkinci alt bölümde, bazı direkt çarpım gruplarının değişmeli grup halkasında idempotent birimsel elemanları tanımlanmış ve direkt çarpım gruplarının bazılarının değişmeli grup halkasındaki her bir normallenmiş birimsel elemanın bir idempotent birimsel eleman olabilmesi için bazı gerek ve yeter şartlar elde edilmiştir.Üçüncü alt bölümde, S_3, 6 mertebeli bir simetrik grup ve C_3, 3 mertebeli bir devirli grup olmak üzere S_3 grubunun burulmasız normal tümleyeni cinsinden S_3×C_3 direkt çarpım grubunun integral grup halkasının birimsel grubu karakterize edilmiştir. Beşinci ve son bölüm sonuçlar, tez üzerine tartışma ve bazı açık problemler üzerine öneriler içermektedir.

This thesis consists of five chapters. In the first chapter, some basic definitions and theorems which are necessary for next chapters, are introduced. In the second chapter, some related studies in the literature are given widely. In the third chapter, materials and methods which are used in the thesis are given.In the fourth chapter, some results, definitions and theorems which are originally found are introduced by findings as three subsections. In the first of these subsections, some necessary and sufficient conditions for all the normalized units in commutative group rings of some direct product groups to be G×H-nilpotent units are given.In the second subsection, idempotent units are defined in the commutative group rings of some direct product groups and some necessary and sufficient conditions for every normalized unit in commutative group rings of some direct product groups to be an idempotent unit are obtained.In the third subsection, unit group of integral group ring of the direct product group S_3×C_3 is characterized in terms of the torsion-free normal complement of S_3, where S_3 is a symmetric group of order 6 and C_3 is a cyclic group of order 3. Fifth and the last chapter comprises of results, discussion on the thesis and suggestions on some open problems.