Numerical analysis of a projection-based stabilization method for the natural convection problems

Abstract

Bu tezde, kaldırma tesirli akışları (doğal konveksiyon problemleri) çözebilmek için projeksiyon-esaslı kararlılaştırma yöntemini ele aldık. Bu yöntem global kararlılaştırmanın tüm ölçeklere eklenmesi ve ardından uygun fonksiyon uzaylarına projeksiyon vasıtasıyla tanımlanan kalın ölçeklerden bu etkinin geri çözünümünden ibarettir. Bu vasıta ile kararlılaştırma sadece küçük ölçeklere tesir eder. İki farklı kaldırma tesirli akışı projeksiyon-esaslı kararlılaştırma yöntemiyle ele aldık.İlk olarak, klasik bir kapalı ortamda katıdan akışkana ısı transferinin durağan halli doğal konveksiyon problemi üzerinde yoğunlaştık. Projeksiyon-esaslı kararlılaştırma yönteminin matematiksel analizini verdik ve hız, sıcaklık ve basınç değişkenlerinin varlık, teklik ve yakınsama özelliklerini ispatladık. Ayrıca, teorik bulguları destekleyen sayısal testleride sunduk.İkinci olarak, gözenekli bir ortamda doğal konveksiyon vasıtasıyla gerçekleşen birleşik ısı ve kütle transfer problemini ele aldık. Yarı-ayrık durumda projeksiyon-esaslı metodun kararlılık ve öncül hata analizini çifte çözünümlü konveksiyonda Darcy-Brinkman denklemleri için verdik. Ardından Darcy-Brinkman denklemleri için bazı referans değerlerle kıyaslama yapan sayısal ölçümleri verdik.Tezin son kısmında Darcy-Brinkman denklemleri için konvektif hız terimlerinin lineer dışdeğerlerini içeren tam ayrık bir şemayı sunduk.

In this thesis, we consider a projection-based stabilization method for solving buoyancy driven flows (natural convection problems). The method consists of adding global stabilization for all scales and then anti-diffusing these effects on the large scales defined by projections into appropriate function spaces. In this way, stabilization acts only on the small scales. We consider two different variations of buoyancy driven flows based on the projection-based stabilization.First, we focus on the steady-state natural convection problem of heat transport through combined solid and fluid media in a classical enclosure. We present the mathematical analysis of the projection-based method and prove existence, uniqueness and convergence of the approximate solutions of the velocity, temperature and pressure. We also present some numerical tests to support theoretical findings.Second, we consider a system of combined heat and mass transfer in a porous medium due to the natural convection. For the semi-discrete problem, a stability analysis of the projection-based method and a priori error estimate are given for the Darcy-Brinkman equations in double-diffusive convection. Then we provide numerical assessments and a comparison with some benchmark data for the Darcy-Brinkman equations.In the last part of the thesis, we present a fully discrete scheme with the linear extrapolation of convecting velocity terms for the Darcy-Brinkman equations.