Nonlinear vibrations of curved single and double walled carbon nanotubes

Abstract

Bu tezde, geometrik, başlangıç kavisi ve van der Waals kuvvetleri kaynaklı doğrusal olmayan etkilerin (doğrusalsızlıkların) karbon nanotüplerin (KNT'lerin) doğrusal olmayan doğal frekans değişimi üzerindeki etkisi çeşitli vaka analizleri ile detaylı olarak incelenmiştir. Sınama (deneme) fonksiyonu doğrusal sistemin özfonksitonu olan tek sınama fonksiyonu kullanan Galerkin metodu literatürde karbon nanotüplerin doğrusal olmayan titreşimleri için sıklıkla kullanılmaktadır. Ancak, doğrusal olmayan sistemler için elde edilen doğrusal olmayan sistemlerin özfonksiyonları doğrusal sistemlerin özfonksiyonlarından önemli ölçüde farklı olabilmektedir. Dolayısıyla, doğrusalsızlığa bağlı olarak tek sınama fonksiyonu kullanarak doğrusal olmayan karakteristiklerin yakalanması mümkün olmayabilmektedir. Bu sebeple, ilk kez bu tez çalışmasında KNT'lerin doğrusal olmayan titreşimlerini incelemek için çoklu sınama fonksiyonu kullanılmıştır. Buna ek olarak, doğrusal olmayan kuvvetlerin doğrusal olmayan karmaşık direngenlik matrisi ve yer değiştirme vektörünün çarpımı olarak yazılabildiği yeni bir çözüm metodu – tanımlama fonksiyonu metodu – önerilmiştir. Bu doğrusal olmayan karmaşık direngenlik matrisinin köşegen dışı elemanları sınama fonksiyonları arasındaki bağlantı hakkında çok önemli bilgiler sağlamaktadır. Ele alınan sınır koşularına bağlı olarak bütün sınır koşullarını sağlayan uygun sınama fonksiyonları bulmak çok zor olmaktadır. Bu sebeple, bu zorluğu aşmak için, sınama fonksiyonu gerektirmeyen diferansiyel tümlev metodu (DTM) üzerine kurulu yinelemeli yol takibi metodu (YYTM) geliştirilmiştir. Sonlu elemanlar metoduna göre daha az sayıda nokta kullandığı için daha az sayıda doğrusal olmayan denklem elde edilmesini sağlayan DTM'in DTM tabanlı doğrusal olmayan çözüm metodunun sürekli sistemlerin çözümü için gelecek vadeden bir yöntem olduğuna kanaat getirilmiştir.

In this thesis, effects of Geometric, initial curvature, and van der Waals (vdW) interlayer force nonlinearities on the variation of nonlinear natural frequency of Carbon Nanotubes (CNTs) are investigated in detail throughout several case studies. Galerkin method with a single trial function, which is the eigenfunction of the linear system, is widely used in literature in studying nonlinear vibrations of CNTs. However, eigenfunctions of the nonlinear systems can be significantly different than the eigenfunctions of the linear system. Therefore, depending on the nonlinearity, it may not be possible to capture the nonlinear characteristics by using a single trial function. Consequently, for the first time in this thesis, multiple trial functions are used to investigate the nonlinear free vibrations of CNTs. Moreover, a new solution approach– describing function method– is proposed which has the advantage of expressing the nonlinear force as a nonlinear complex stiffness matrix multiplied by displacement vector, where the off-diagonal terms of the nonlinear stiffness matrix can provide a comprehensive knowledge about the coupling between the trial functions. Depending on the boundary conditions considered, it is hard to find suitable trial functions that satisfies all the boundary conditions; hence, in order to overcome this difficulty, iterative path following method (IPFM) based on differential quadrature method (DQM) is developed which does not require trial functions. It is concluded that DQM based nonlinear solution method is very promising in solving nonlinear continuous systems, since it requires less number of gird points which results in less number of nonlinear equations compared to finite element methods.