Analitik fonksiyonlarda hadamard çarpımı

Abstract

GZET Analitik iki f(z) ve g(z) fonksiyonlarının Taylor kat- 00 Yi sayıları a ve b olmak: üzere (f*g)(z)=£ a b z şeklinde tanım- J nn ° o n n lanan fonksiyona f(z) ve g(z) fonksiyonlarının Hadamard çarpı mı (Konvolüsyon) denir.. °° n Birim dairede yalnız ve ancak yalınkat ve I a z J J t n (a =1) olan fonksiyonların sınıfı S ile gösterilsin. Biz bu çalışmada f(z) ve g(z) S nin herhangi iki alt sınıfından alın dığında bunların Hadamard çarpımının yine S nin bir alt sınıfı na ait olduğunu inceledik. Bu konuyla ilgili önemli sonuçlardan biri 1958 yılında Polya ve Schoenberg tarafından yapılan aşağı daki tahmindir.: f,geK ise f*geK Bu çarpımın yalınkat ve konvekse yakın olduğu ilk olarak Suffridge tarafından gösterilmiştir, Suffridge daha sonra aşağıda ki önermenin özel durumlarını ispat etmiştir: fEK, g eC ise (f*g) e jC P6lya - Schoenberg tahmininin ispatı 1973 yılında Ruscheweyh ve Sheil-Small tarafından verilmiştir. Birinci bölümde S sınıfının alt sınıflarının tanım ve özellikleri anlatıldı: 1. Yalınkat fonksiyonlar: Bu fonksiyonlar ü birim dairesinde bire bir olan analitik fonksiyonlardır. Bunların sınıfı H. (U) ile gösterilir. 1^ (U) nun elemanlarından f (O ) =f' (0)-l=0 ile normalize edilenlerin ssnıfı S ile gösterilir.?ıı - 2. Reel Kısmı Pozitif Fonksiyonlar: Birim daireyi sağ yarı düzleme resmeden ve z = 0 daki değeri 1 olan analitik bir p(z) fonksiyonuna reel kısmı pozitif fonksiyon denir. Bu fonksiyon ların sınıfı P ile gösterilir. Bir p(z) fonksiyonunun P sınıfına 1+ z ait olabilmesi için gerek ve yeter koşul p(z)<~=-saborflinasyonu- nun yar olmasıdır. f(z) ve g(z) analitik fonksiyonları verildiğinde, f(z) nin g(z) ye sabordine olmasının anlamı f(z)=g(0(z)) olacak şekilde Schwarz lemmasmın koşullarını sağlayan bir 0 e H(U) fonksiyonunun var olmasıdır. geH.(U),f e H(U), f (0) =g (0) ve f(U)<^g(U) koşulla rı sağlandığında yine f(z) g(z) sabordinasyonu geçerlidir. 3. Yıldızıl Fonksiyonlar : Birim daireyi başlangıca göre yıldızıl bir bölge üzerine resmeden yalınkat fonksiyona yıldızıldır denir ve bunların oluşturduğu sınıf S* ile gösterilir. Genel olarak S sınıfına ait bir f(z) fonksiyonu Re{ zf ' (z) /f (z) }> a koşulunu sağ larsa a ınc-ı mertebeden yıldızıl fonksiyon denir. 4. Konveks ve Konvekse Yakın Fonksiyonlar : Birim dairede yalınkat olan ve birim daireyi konveks bir bölgeye resmeden bir fonksiyona konveks fonksiyon denir. Bu sınıf K ile gösterilir. S ye ait bir fonksiyonun konveks olması için gerek ve yeter koşul zf`(Z) 1+fonksiyonunun P ye ait olmasıdır. f'(z)- f(z) normalize edilmiş analitik fonksiyonu verildiğinde Re (zf ' (z)) /g?(z)) >0 -koşulunu sağlayan bir yıldızıl g(z) fonksiyonu varsa f(z) fonksiyonuna konvekse yakın denir. Bu sınıf C ile gösterilir.f e C ise yalınkattır. 5. Simetrik Noktalara Göre Yıldızıl ve Konveks Fonksiyonlar; z f ' ( z ) Birim dairede analitik olan bir f(z) fonksiyonu Re (-j-? - /,f/_ s)>0 koşulunu sağlarsa simetrik noktalara göre yıldızıl, zf * (z). Air rn*/<r i ^ i _i,t o < A < 1 ; arg1< - -,,, f(z)-f(-z) 2 eşitsizliğini sağlarsa simetrik noktalara göre X mertebeli güçlü yıldızıl ve-ııı- z(a£.'(z)J» Re () >0 koşulunu sağlarsa simetrik noktalara göre zf ' (z)+zf ! (-z) konveks fonksiyon denir. Bu sınıflar sırasıyla S ',S* (A),K_ ile gösterilir. U da analitik bir f(z) fonksiyonu için Re (zf ' (z)/(K(z)-K(-z)))>0 eşitsizliğini sağlayan K(z) e S* fonk- S siyonu varsa f(z) ye gimetrik noktalara göre konvekse yakın denir. Bu sınıf C ile gösterilir, s ° İkinci Bölümde Hadamard çarpımının tanım ve özellikleri ile bazı fonksiyon sınıfları için verilen sonuçlar incelendi: Hadamard çarpımı değişme, birleşme, toplama üzerine dağıl ma özelliklerine sahiptir. e(z)=l/(l-z) fonksiyonu Hadamard çarpı mında, jbirim eleman rolü oynar. Tanımdan z (f *g) ' =f *zg ' olduğu kolayca görülür. Şimdi Polya-Schoenberg tahmininin Ruscheweyh ve Sheil-Small tarafından yapılan ispatındaki önemli adımları verelim.. i 0(z) ve g(z) analitik fonksiyonları verildiğinde 0(O)=g(O)=O,0' (0)?« 0 g-f (0)^0 koşulları sağlansın. Her bir a, a ( l<x.#lj {.a j=l) için 0 (z) *(l+aaz) / (1-oz) ^ 0, (0< z <1), olsun. Bu ı taktirde F(z)eH(U) ve Re F(z)>0 olAak üzere (0*Fgj(z) Re>0 (*) (0*g)(z) dır. Buna göre 0e!K, g eS ve *0,g eS (y) çifti verildiğinde F(z) EİH(U), Re F(z)>0 olmak üzere (*) eşitsizliğinin gerçeklen- ı diği gösterilebilir. Buradan -j nci mertebeden yıldızıl fonksiyon sınıfı ve simetrik noktalara göre konveks ve yıldızıl fonksiyon sınıfları için aşağıdaki önermeleri verebiliriz. i) 0,geS* () ise 0*g£'s* () ii) f £ S*,h e K ise f*h e'S s s iii) f e S * (A), he K ise f*h e S * (A) s s-ıv- iv) £ e K,h e.K ise f*h e;K s ' s v) f e C,h e K ise f*h e C s ' s Konvolüsyonun önemli özelliklerinden biri de sabordinasyonu korumasıdır, yani; O.^K, f eH(U) ve f ¥ iken 0*f 0*1' dir. Son-olarak konveks fonksiyonların bir alt sınıfı olan sınırlı konveks fonksiyon sınıfında konvolüsyon ve sabordinasyon özellikleri incelendi: ^zf'(z) l f eK Fonksiyonu-y<l + Y » (y*6- ö), eşitsizliğini f(z) Z sağlarsa £(z) ye sınırlı konveks fonksiyon denir. Bu sınıf K ile gösterilir. Buna göre f£fc. (-1 /2^y<0. 13) ve g e M ise f*g e S dır. Yâ -/ için (f*g)(z)s v'2 max jzf'(z)dir. Yine feK, (y^-İ) » ge'S ve h=f*g ise) ^(z) -1-Yİ<1+Y dır. Sundan başka K nm elemanlarının bazı sabordinasyon özelli! leri de aşağıdaki gibidir. feİK, f (z)=((l-az) -1) olsun. -0 zaman ı y ° Ç(z> f (z) zf '?(«)* >i zf ' (z)^-cİ-2- - ; f(z)<fî r(z),- ° f(z); - I f (z) o