Reduced order modelling for multiphysics problems

Abstract

En yaygın kullanılan mertebe düşüren modellemelerden biri olan uygun dik ayrıştırma metodu (POD), birçok mühendislik ve bilimsel uygulamada kullanılmaktadır. POD metodunun temeli bir kısmi diferansiyel denkleminin Galerkin sonlu eleman çözümünü temsil eden veri kümesinden en çok kinetik enerjiye sahip olanlarını ortaya çıkarmaktır. Bu şekilde POD, sistemlerin karmaşıklığını azaltır. POD metodu yaygın olarak kullanılmasına rağmen, sayısal stabilizasyon olmaksızın oldukça zayıf bir şekilde davranır. Projeksiyon tabanlı varyasyonel çoklu ölçek (VMS) yöntemi, verilen sistemin sayısal kararlılığını artıran en iyi yaklaşımlardan biridir. VMS'deki temel fikir, küçük ölçekli salınımları ortadan kaldırmak için tüm çözülmüş ölçekler yerine yapay viskoziteyi sadece en küçük çözümlenmiş ölçeklere eklemektir. Sonlu elemanlar discretizasyonunun ölçeklendirilmesi karmaşıktır, fakat POD'da, temel fonksiyonlar kinetik enerjilerine göre azalan düzende sıralanmıştır. Bu yüzden POD metodu VMS metodolojisi ile uyumludur.Bu tezde ilk olarak, sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri için POD ile projeksiyon tabanlı VMS yönteminin bir işlem-sonrası uygulaması önerilmiş, analiz edilmiş ve test edilmiştir. İkinci olarak, uygun dik ayrıştırmalı metodu farklı çözünme oranlarına sahip iki potansiyel tarafından modellenen çifte çözünümlü konveksiyon denklemleri için genişletilmiştir. İndirgenmiş model için kararlılık ve yakınsaklık analizleri sunulmuştur. Teorik sonuçları sayısal testlerle doğrulamak için bir ölçüt problemi kullanılmıştır. Tezin son bölümünde, Darcy Brinkman denklemleri için POD'a dayalı bir VMS indirgenmiş modeli sunulmuştur. Sistemin tamamen ayrıştırılmasında, zaman değişkenleri için Crank Nicholson zaman ayrımı ve uzay değişkenleri için sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. VMS-POD metodunun sayısal analizi gerçekleştirilmiştir ve en uygun hata tahminleri kanıtlanmıştır. Son olarak, teorik bulguları doğrulamak için sayısal çalışmalar yapılmıştır.

Proper orthogonal decomposition (POD), as one of the most commonly used tools to generate reduced order models, has been utilized in many engineering and scientific applications. The idea of POD consists of extracting the dominant features of a data set, which are naturally assumed to represent Galerkin finite element solution of a partial differential equation. In this way, POD reduces the complexity of systems. Despite the widespread use of POD, it can perform quite poorly for turbulence flows. Projection-based variational multiscale (VMS) method is one of the best approaches that increase the numerical stability. The basic idea in VMS is adding artificial viscosity only to smallest resolved scales instead of all resolved scales to eliminate small scale oscillations. The usual finite element discretization sorting of scales is complicated, but in POD, basis functions are sorted in descending order with respect to their kinetic energy. Thus, the POD is suitable to the VMS methodology. First, we propose, analyze and test a post-processing implementation of a projection-based VMS method with POD for the incompressible Navier–Stokes equations. We present a theoretical analysis of the method and give results for several numerical tests on benchmarkproblems which both illustrate the theory and show the proposed method's effectiveness. Second, we extend POD reduced order modeling to flows governed by double-diffusive convection, which models flow driven by two potentials with different rates of diffusion. We present a stability and convergence analysis for it, and give results for numerical tests. In the last part of the thesis, we present a VMS reduced order model based on POD for the Darcy Brinkman equations. The proposed scheme uses VMS type stabilization in POD. For the temporal discretization of the system, Crank Nicholson is utilized. The numerical analysis for the VMS-POD is carried out and numerical studies are performed to verify the theoretical findings.