Kontrol sistemlerinin durum uzayında incelenmesi

Abstract

ÖZET Kontrol sistemi, bir sistemin değişken büyüklüğünün ya da değişken büyüklükler kümesinin, önceden belirlenen bir düzen içinde, kumanda eden, yöneten, ayar eden ve istenilen kararlılıkta çalışmasını sağlayan, işlemler bütünüdür. Kontrol sistemlerinin analiz, tasarım ve boyutlandırılmasında sistemin matematik modelinin elde edilmesi zorunludur. Özellikle sistemi bütünüyle inceleyebilmek için, matematik modelinde; girişlerinin, durum değişkenlerinin ve çıkışlarının tanımlanması gereklidir. Kontrol sistemlerinin bilinen temel problemleri kararlılık, optimal kontrol, kontrol edilebilirlik ( denetlenebilirlik ) ve gözlenebildiktir. Kontrol sistemlerinin dizaynı ve temel problemlerin çözümünde, klasik ve modern yöntemlerle kullanılmaktadır. Klasik yöntemde analiz, dizayn ve boyutlandırmada kullanılan transfer fonksiyonu, doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri sadece giriş ve çıkış büyüklükleri cinsinden tanımlar. Sistem tümüyle tanımlanamadığından klasik yöntem, sistemin temel problemlerinin çözümü için yeterli değildir. Modern kontrol teorisi birinci mertebeden diferansiyel denklemlerden oluşan sistem denklemlerinin tanımına dayanmaktadır. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler yardımı ile sistemin durum değişkenleri ve sistemin başlangıç koşullarını içine alan durum uzay denklemleri elde edilir. Durum uzay yaklaşımında sistem, bütünüyle tanımlanabilmektedir. Durum uzay yaklaşımı lineer, lineer olmayan, zamanla değişen, zamanla değişmeyen, çok girişli ve çok çıkışlı sistemlerin davranış ve özelliklerinin analiz, dizayn ve boyutlandırılmasında kullanılır. Klasik yönteme göre kullanımı sınırlı değildir. Durum uzay denklemleri ile sistemin temel problemleri çözülebilmektedir. Bu çalışmada, 1. Bölümde kontrol sistemlerinin temel tanımlan açıklanmıştır. 2. Bölümde kontrol sistemlerinin matematik modellenmesi işlenmiş ve elektrik-elektronik devrelerin, durum uzay denklemlerinin elde edilmesine ilişkin yöntemler gösterilmiştir. 3. Bölümde durum uzay denklemlerinin tanımlan, sistemlerin durum uzayında incelenmesinin gerekliliği, durum uzay denklemlerini çözümleri ve kontrol sisteminin temel problemlerinden olan, sistem tasarımında önemli rol oynayan kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kavranılan, durum uzay yaklaşımı ile incelenmiştir. 4.Bölümde kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kavramlarının açıklayıcı olması açısından, örneklere yer verilmiştir. Her hangi bir sistem taşanım yapılmamıştır. Örneklerde, elektromekanik sistemlerde hız ve konum kontrolünde kullanılmakta olan lineer zamanla değişmeyen sistemler incelenmiştir. Örnek sistemlerin, temel bilimsel kanunlarından yararlanarak, birinci mertebeden diferansiyel denklemleri yani durum uzay denklemleri elde edilmiş ve durum uzay blok diyagramları çizilmiştir. Durum uzay denklemleri ile sistemlerin, tam durum kontrol edilebilirliği, çıkışının kontrol edilebilirliği ve gözlenebilirliği incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar değerlendirildiğinde, incelenen sistemlerin kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirliğinin matematiksel sonuçlan, uygulama aşamasında karşılaşılan sonuçlarla aynı olduğu görülmüştür.

ABSTRACT Control system is group of operations which manages, adjusts or provides stable working of a group of variable values of a system in priorly defined order. It is necessary to obtain the mathematical model of the system in order to analyse, to design and to size the control system. Especially to examine the system at all, it is necessary to define the inputs, outputs and state variables in the mathematical model. The known fundamental problems of the control systems are stability, optimal control, controllability and observability. Classical and modem methods have been used for the solution of fundamental problems and for the design of control system. In classical method, transfer function used for analysis, design and sizing defines linear time-invariant systems for only input and output values. Because of inability of defining system at all, classical method is not enough the solve the fundamental problems. Modem control theory is related to definition of system equation involved to first-order differential equations. State-space equations including initial conditions and state variables have been gathered by the help of first-order differential equations. It is possible to define all system in state-space approach. State-space approach has been used for designing, analysing and sizing behaviours and quality of linear, non linear, time-invariant, time-varying, multiple-input and multiple-output systems. Usage has not been restricted in comparison with classical method. Fundamental problems of the system can be solved by state-space equations. In the first part of this study, fundamentals of the control system have been explained. In the second part, mathematical modelling of control systems has been examined and methods related to obtaining state-space equations have been shown for electric and electronic circuits. In the third part, definition of state-space equations, necessity of being examined of systems in state-space, solutions of state-space equations and concept of controllability and observability which have importance in system designing, have been examined with state-space approach. In the fourth part, to ensure explanatory information about concept of controllability and observability, examples have been given. No system design has been done. In examples, systems that have been used electromechanical systems to control TTIposition and speed have been examined. By means of fundamental scientific laws of example systems, first-order differential equations state-space equations have been obtained and state-space block diagrams have been drawn. With state-space equations, complete state controllability, output controllability and complete observability of system have been examined. Since the obtained results have been evaluated, mathematical results of controllability and observability of systems examined and results encountered during the applications stage were identical. IV