Singüler difüzyon operatörü için ters problemler

Abstract

Bu çalışmada singüler difüzyon operatörü ele alınmıştır. Tez dört bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümü; konunun önemini ve spektral teorideki yerini göstermektedir. İkinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde sık kullanılan önemli tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde; difüzyon opertörünün spektral karakteristiklerinin ve verilen denklemin belirli başlangıç koşullarını sağlayan çözümleri için integral denklemler elde edilmiş, difüzyon denklemi için oldukça kullanışlı olan integral gösterilim verilmiş ve bu gösterilim kullanılarak sınır değer problemin özdeğer ve özfonksiyonlarının önemli özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca integral gösterilimin çekirdek fonksiyonlarının sağladığı hiperbolik tip II. Mertebeden kısmi türevli diferansiyel denklemler sistemi elde edilmiştir. Ve bu sistemi sağlayan çekirdek fonksiyonlarının t=x ve t=-x karakteristikleri üzerindeki değerleri verilen diferansiyel denklemin katsayılarıyla ifade edilmiştir. Son olarak dördüncü bölümde ise ele alınan difüzyon operatörleri için ters problemlere yer verilmiştir. Verilen problemin katsayılarının Weyl fonksiyonu ve spektral veriler yardımıyla tek türlü belirlenebileceği ispatlanmıştır

In this study, diffusion operator is considered. This thesis consist of four chapters. In the introduction; important of subject and location in spectral theory are shown. In the second chapter; important definitions and theorems which are used frequently in spectral theory of differential operators are given. In the third chapter, behaviours of spectral characteristics of diffusion operator and integral equations for solution which satisfy certain initial condition of given equation has been obtained and useful integral represantation some important properties of eigenvalues and eigenfunction have been investigated. The hyperbolic type 2nd order partial derivative differential equations provided by the kernel functions of the integral representation is obtained. The values of the kernel functions that provide this system on the t=x and t=-x characteristics are expressed with the coefficients of the given differential equation. Finally, in the last chapter; It is proved that the coefficients of the given problem can be determined individually by means of Weyl function and spectral data.