Completion of a Levy market model and portfolio optimization

Abstract

Bu çalışmada, genel geometrik Levy piyasa modelleri incelenmiştir. Bu modeller, genellikle, tam değillerdir, yani, tüm şarta bağlı alacak hakları, tahvil ve hisse senetlerine yatırım yapılarak kendi kendini finanse eden portföy tarafından yinelenemezler. Bu sebepten piyasanın, söz konusu Levy süreçlerinin kuvvet-sıçrama süreçlerine dayalı yapay varlıklar tarafından genişletilmesi önerilmiştir. Bu durumda piyasanın tam olduğu gösterilmiş ve alacak hakkına ait ödeme fonksiyonunun hisse senedi ve yapay varlıkların vade sonu değerlerine bağlı riskten korunma portföyü açık olarak ifade edilmiştir. Ayrıca, genişletilen piyasada portföy optimizasyon problemi incelenmiştir. Problem, optimal portföyün, nihai servete ait beklenen faydasının maksimum olacak şekilde, seçiminden ibarettir. Piyasadaki denk martingale ölçüsünün özel seçimleri için, optimal portföyün sadece tahvil ve hisse senetlerinden oluştuğu gösterilmiştir. Bu durum piyasanın yeni varlıkları gereksiz kılacak şekilde tamlanmasına karşılık gelmektedir.

In this study, general geometric Levy market models are considered. Since these models are, in general, incomplete, that is, all contingent claims cannot be replicated by a self-financing portfolio consisting of investments in a risk-free bond and in the stock, it is suggested that the market should be enlarged by artificial assets based on the power-jump processes of the underlying Levy process. Then it is shown that the enlarged market is complete and the explicit hedging portfolios for claims whose payoff function depends on the prices of the stock and the artificial assets at maturity are derived. Furthermore, the portfolio optimization problem is considered in the enlarged market. The problem consists of choosing an optimal portfolio in such a way that the largest expected utility of the terminal wealth is obtained. It is shown that for particular choices of the equivalent martingale measure in the market, the optimal portfolio only consists of bonds and stocks. This corresponds to completing the market with additional assets in such a way that they are superfluous in the sense that the terminal expected utility is not improved by including these assets in the portfolio.