A survey on quaternary codes and their binary images

Abstract

Bilinen doğrusal ikili kodların en az iki katı kod sözcüğüne sahip bazı doğrusal olmayan ikili kodlar, Z4 üzerindeki doğrusal kodların ikili görüntüleri olarak görülebilir. Bu bakış, kodlama teorisinde ikili kodların Z4-doğrusallığı diye adlandırılan yeni bir kavrama yol açmıştır. Bu tez, dörtlü kodlar ve onlardan Gray eşlemesiyle elde edilen ikili görüntüleri üzerine bir araştırmadır. İkili görüntülerin doğrusal olması için gereken şartlar ayrıntılı olarak incelenmiş; ayrıca Reed-Muller ve Hamming kodlarının Z4-doğrusallığı ele alınmıştır. Bu çalışmanın katkısı, doğrusallık koşullarını sınama yönteminin birkaç yeni ön sav ve önermeyle basitleştirilmesidir. Ayrıca, 4 uzunluğundaki bütün doğrusal dörtlü kodların (8 uzunluğundaki) ikili görüntüleri incelenmiş ve bu görüntülerin doğrusal olmayan altkümesindeki toplam 184 kodun, (8, 4) Hamming koddan daha kötü olduğu gösterilmiştir.Bu tez dörtlü çevrimsel kodların çalışılması için önemli araçlar olan Hensel lift ve Galois halkasını da içermektedir. Bu araçların yardımıyla, tanınmış doğrusal olmayan ikili kodlardan Kerdock, Preparata ve bunların Z4-doğrusallığı, ayrıntılı olarak çalışılmıştır.

Certain nonlinear binary codes having at least twice as many codewords as any known linear binary code can be regarded as the binary images of linear codes over Z4. This vision leads to a new concept in coding theory, called the Z4-linearity of binary codes. This thesis is a survey on the linear quaternary codes and their binary images under the Gray map. The conditions for the binary image of a linear quaternary code to be linear are thoroughly investigated and the Z4-linearity of the Reed-Muller and Hamming codes is discussed. The contribution of this study is a simplification on the testing method of linearity conditions via a few new lemmas and propositions. Moreover, binary images (of length 8) of all linear quaternary codes of length 4 are analyzed and it is shown that all 184 binary codes in the nonlinear subset of these images are worse than the (8, 4) Hamming code.This thesis also includes the Hensel lift and Galois ring which are important tools for the study of quaternary cyclic codes. Accordingly, the quaternary cyclic versions of the well-known nonlinear binary codes such as the Kerdock and Preparata codes and their Z4-linearity are studied in detail.