Neural networks with piecewise constant argument and impact activation

Abstract

Bu tez, matematiksel sinir bilimindeki yeni modellerden: hücre fonksiyonları ve insan beyninin yapısı ile birçok benzerlik gösteren yapay sinir ağlarından ve elektronik devreler yardımıyla hücrelerin fonksiyonlarından bahsetmektedir. Bu ağlar örüntülerin sınıflandırılması, çağrışımlı bellekler, görüntü işleme, yapay zeka, sinyal işleme ve optimizasyon problemlerindeki geniş uygulamalarından dolayı incelenmektedir. Bu uygulamalar önemli bir şekilde ağların dinamik davranışlarına bağlıdır. Bu tezde dinamikler süreksiz diferensiyel denklemler: genel tipteki parçalı sabit argumanlı diferensiyel denklemler, ve hem sabit zamanlı itmeler ve parçalı sabit arguman, ile gösterilmiştir. Ayrıca, sözkonusu olan uygulamalara örnek teşkil eden modellerin tartışması yapılmıştır.Bu ağlar için çözümlerin varlık ve tekliği, denge noktalarının global asimtotik kararlılığı, düzgün asimtotik kararlılığı ve global üstel kararlılığı, periyodik çözümlerin varlığı ve bunların global asimtotik kararlılığının niteliksel analizi elde edilmiştir. Teorik sonuçları doğrulamak amacıyla nümerik simülasyon örnekleri verilmiştir.Tüm özellikler: varlık ve teklik teoremleri; ikinci Lyapunov metodu ve lineerizasyon ile kararlılık analizi, süreksiz diferensiyel denklemler için olan metotlar kullanılarak kesin olarak onaylanmıştır. Genel tipteki parçalı sabit argumanlı diferensiyel denklemler için Lyapunov fonksiyonlar metodu ile kararlılık problemi ilk defa incelenmiştir. Bu denklemler sapma argumanlı olmasına rağmen kararlılık kriterleri sadece Lyapunov fonksiyonları cinsinden bulunmuştur.

This dissertation addresses the new models in mathematical neuroscience: artificial neural networks, which have many similarities with the structure of human brain and the functions of cells by electronic circuits. The networks have been investigated due to their extensive applications in classification of patterns, associative memories, image processing, artificial intelligence, signal processing and optimization problems. These applications depend crucially on the dynamical behaviors of the networks. In this thesis the dynamics are presented by differential equations with discontinuities: differential equations with piecewise constant argument of generalized type, and both impulses at fixed moments and piecewise constant argument. A discussion of the models, which are appropriate for the proposed applications, are also provided.Qualitative analysis of existence and uniqueness of solutions, global asymptotic stability, uniform asymptotic stability and global exponential stability of equilibria, existence of periodic solutions and their global asymptotic stability for these networks are obtained. Examples with numerical simulations are given to validate the theoretical results.All the properties are rigorously approved by using methods for differential equations with discontinuities: existence and uniqueness theorems; stability analysis through the Second Lyapunov method and linearization. It is the first time that the problem of stability with the method of Lyapunov functions for differential equations with piecewise constant argument of generalized type is investigated. Despite the fact that these equations are with deviating argument, stability criteria are merely found in terms of Lyapunov functions.