Discontinuous Galerkin methods for time-dependent convection dominated optimal control problems

Abstract

Zamana bağlı konveksiyon ağırlıklı konveksiyon-difüzyon-reaksiyon denklemlerin dağıtık eniyileme kontrol problemi ele alındı. Problem uzayda üç farklı sürekli olmayan Galerkin yöntemiyle ayrıklaştırıldı: Simetrik iç ceza Galerkin yöntemi (SIPG), simetrik olmayan iç ceza Galerkin yöntemi (NIPG), eksik iç ceza Galerkin yöntemi (IIPG). Zaman değişkeninin ayrıklaştırılmasında ise Crank-Nicolson ve geriye dönük Euler yöntemi kullanıldı. Sonlu boyutlu problem, ayrıklaştır-eniyile yaklaşımı ile elde edildi. Tek boyutlu kısıtlı olmayan problem, Newton eşlenik gradyan yöntemi ve Armijo doğru arama yöntemi ile çözüldü. İki boyutlu kısıtlı problem için, aktif kümeler yöntemi uygulandı. Tam ayrıklaştırılmış eniyileme kontrol problemi için, a priori hata tahminleri elde edildi. Çözümü katmanlar içeren, tek ve iki boyutlu dağıtık adveksiyon-difüzyon-reaksiyon denkleminin eniyileme kontrol problemi için elde edilen sayısal sonuçlar, a priori hata tahminleriyle uyuşmaktadır.

Distributed optimal control problems with transient convection dominated diffusion convection reaction equations are considered. The problem is discretized in space by using three types of discontinuous Galerkin (DG) method: symmetric interior penalty Galerkin (SIPG), nonsymmetric interior penalty Galerkin (NIPG), incomplete interior penalty Galerkin (IIPG). For time discretization, Crank-Nicolson and backward Euler methods are used. The discretize-then-optimize approach is used to obtain the finite dimensional problem. For one-dimensional unconstrained problem, Newton-Conjugate Gradient method with Armijo line-search. For two-dimensional control constrained problem, active-set method is applied. A priori error estimates are derived for full discretized optimal control problem. Numerical results for one and two-dimensional distributed optimal control problems for diffusion convection equations with boundary layers confirm the predicted orders derived by a priori error estimates.