An extension to the variational iteration method for systems and higher-order differential equations

Abstract

Günlük hayatta karşılaşılan birçok problemin modellenmesinde diferansiyel denklemler kullanılmaktadır. Bu denklemlerinin bazılarının analitik çözümmleri bilinmesine karşın diferansiyel denklemlerin kapalı formda çözümlerinin bulunması genellikle zordur.Dolayısıyla bu tip denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması farklı alanlardan birçok araştırmacının çalışma alanını oluşturmaktadır.Bu tezde birinci derece diferansiyel denklem sistemlerinin çözümmlerini elde etmek için Varyasyonal İterasyon Metoduna (VIM) yeni bir yaklaşım önerilmektedir. Tezin Varyasyonal İterasyon Metoduna ana katkısı önerilen metodun sınırlı varyasyonları yalnızca lineer olmayan kısımlarda kullanması ve matris değerli Lagrange çarpanları elde ederek metodun genişlemesini sağlamasıdır (EVIM).Matris değerli Lagrange çarpanları ve diferansiyel denklemlerin temel çözümleri arasındaki bağlantı varyasyonal iterasyon metodunun genişlemiş versiyonu ile klasik parametrelerin değişimi formülü arasındaki bağlantının vurgulanmasını sağlamaktadır.Ayrıca, böyle bir genelleştirme ile homojen olmayan lineer diferansiyel denklemler içeren başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin sadece bir iterasyon ile bulunabileceğinii ispatlanmaktır. Yüksek dereceli diferansiyel denklemler birinci derece diferansiyel denklem sistemlerine indirgenebildiği içiin önerilen metod yüksek dereceli diferansiyel denklemlere de uygulanabilmektedir.Çalışmamızda böyle bir indirgeme olmadan da varyasyonal iterasyon metodunun yüksek dereceli diferansiyel denklemler için genelleştirilebileceği ve karşılık gelen birinci derece sistemler ile bağlantısı sunulmaktadır.Metodun yüksek dereceli diferansiyel denklemler için elde edilen bu genişlemesi lineer ve lineer olmayan sınır değer problemlerini çözmek için kullanılmaktadır. Elde edilen Lagrange çarpanı Green's fonksiyonuna benzemesine rağmen bu fonksiyona ihtiyaç duyulmadan genişletilmiş varyasyonal iterasyon metodu lineer ve lineer olmayan sınır değer problemlerinin çözümlerinin elde edilmesi için sistemli olarak uygulanmaktadır.Metodun uygulanabilirliğini göstermek için EVIM, klasik Sturm-Liouville özdeğer problemleri, Brusselator denklemi ve Master denkleminden oluşan farklı problemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunması için kullanılmaktadır. Elde edlen sonuçlar metodun oldukça kolay ve güçlü bir metod olduğunu göstermektedir.

It is obvious that differential equations can be used to model real-life problems. Althoughit is possible to obtain analytical solutions of some of them, it is in general difficult to find closed form solutions of differential equations. Finding thus approximate solutions has been the subject of many researchers from different areas.In this thesis, we propose a new approach to Variational Iteration Method (VIM) to obtain the solutions of systems of first-order differential equations. The main contribution of the thesis to VIM is that proposed approach uses restricted variations only for the nonlinear terms and builds up a matrix-valued Lagrange multiplier that leads to the extension of the method (EVIM).Close relation between the matrix-valued Lagrange multipliers and fundamental solutions of the differential equations highlights the relation between the extended version of the variational iteration method and the classical variation of parameters formula.It has been proved that the exact solution of the initial value problems for (nonhomogenous) linear differential equations can be obtained by such a generalisation using only a single variational step.Since higher-order equations can be reduced to first-order systems, the proposed approachis capable of solving such equations too; indeed, without such a reduction, variational iteration method is also extended to higher-order scalar equations. Further, the close connection with the associated first-order systems is presented.Such extension of the method to higher-order equations is then applied to solve boundaryvalue problems: linear and nonlinear ones. Although the corresponding Lagrange multiplier resembles the Green?s function, without the need of the latter, the extended approach to the variational iteration method is systematically applied to solve boundary value problems, surely in the nonlinear case as well.In order to show the applicability of the method, we have applied the EVIM to various real-life problems: the classical Sturm-Liouville eigenvalue problems, Brusselator reaction-diffusion, and chemical master equations. Results show that the method is simple, but powerful and effective.