Two studies on backward stochastic differential equations

Abstract

Geriye doğru stokastik diferansiyel denklemler, finansal matematik, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, finansal ekonomi ve stokastik kontrol alanları dahil olmak üzere birçok uygulama ve teorik çalışmalarda yer almıştır. Doğrusal olmayan geriye doğru diferansiyel denklemlerin çözümü ilk olarak Pardoux ve Peng (Adapted solution of a backward stochastic differential equation. System and Control Letters, 1990) tarafından ortaya koyulmuştur. Pardoux ve Peng, x(t)+?_t^1 f(s,x(s),y(s))ds+ ?_t^1[g(s,x(s))+ y(s)] dWs=X formundaki denklemi çözen ve sırasıyla Rd ve Rd×k'da değer alan {x(t); y(t)}; t is in [0;1]} sürecinin varlığını ve tekliğini kanıtlamışlardır. Bu tez, bu makalede yer alan ispatların makalede belirtilmeyen tüm adımlarını vermektedir. Bu makaleye ek olarak, Cvitanic ve Karatzas'ın (Hedging contingent claims with constrained portfolios. The annals of applied probability, 1993) makalesi çalışılmıştır. Bu makalede, Cvitanic ve Karatzas, finansal ürünlerin kapalı ve konveks K kümesinde değer alan portföyler kullanılarak replike edilmesi problemini analiz etmişlerdir. Cvitanic ve Karatzas'ın incelemeleri dual kontrol problemine dayanmaktadır. Bu tezin son katkısı, volatilite sabit alındığında dual kontrol sorusunu numerik olarak çözen bir algoritma geliştirmesidir. Bu algoritma, zamanın kesikleştirilmesi (uzunluğu birbirine eş parçalara bölünmesi) ile elde edilmiştir. Algoritmanın elde ettiği sonucun asıl kontrol sorusunun sonucuna yakınsadığı ispat edilmiştir.

Backward stochastic differential equations appear in many areas of research including mathematical finance, nonlinear partial differential equations, financial economics and stochastic control. The first existence and uniqueness result for nonlinear backward stochastic differential equations was given by Pardoux and Peng (Adapted solution of a backward stochastic differential equation. System and Control Letters, 1990). They looked for an adapted pair of processes {x(t); y(t)}; t is in [0; 1]} with values in Rd and Rd×k respectively, which solves an equation of the form: x(t)+?_t^1 f(s,x(s),y(s))ds+ ?_t^1[g(s,x(s))+ y(s)] dWs=X. This dissertation studies this paper in detail and provides all the steps of the proofs that appear in this seminal paper. In addition, we review (Cvitanic and Karatzas, Hedging contingent claims with constrained portfolios. The annals of applied probability, 1993). In this paper, Cvitanic and Karatzas studied the following problem: the hedging of contingent claims with portfolios constrained to take values in a given closed, convex set K. Processes intimately linked to BSDEs naturally appear in the formulation of the constrained hedging problem. The analysis of Cvitanic and Karatzas is based on a dual control problem. One of the contributions of this thesis is an algorithm that numerically solves this control problem in the case of constant volatility. The algorithm is based on discretization of time. The convergence proof is also provided.