Repeated-root cyclic codes and matrix product codes

Abstract

Bu çalışmada Galois halkaları ve sonlu cisimler üzerinde tanımlanan çok katlı döngüsel ve sabit döngüsel kodları ve polidöngüsel kodların yapılarını ve Hamming mesafelerini inceledik. Bu kodların Hamming mesafesini bulmak için bir yöntem geliştirdik. Bu yöntemi kullanarak, uzunluğu np^s olan pek çok sabit döngüsel kodun Hamming mesafesini bulabildiğimizi gördük. Hesaplamalarımız sonucunda karakteristiği p'nin kuvveti olan bir alfabe üzerinde tanımlı, uzunlukları p^s veya 2p^s olan bütün döngüsel ve negatif döngüsel kodların Hamming mesafesini elde ettik. Çalıştığımız kodların ambiyant uzaylarını üretmek için literatürde birbirinden bağımsız olarak yayımlanmış iki çalışmada kullanılan torsiyonal dereceler ve Gröbner tabanları tekniklerinin aslında aynı üreteç kümeyi verdiklerini gözlemledik. Ayrıca görünürde farklı bu iki üreteç kümenin birbirlerinden nasıl elde edileceğini gösterdik. Tezin ikinci kısmında ise matris çarpım kodlarını inceledik. Polinom birimli matris çarpma yönteminde, iç içe geçmiş kodlar kullanmanın ve sadece sabitlerden oluşmayan bir matrisin kullanılmasının nasıl bir fark yaratacağını ortaya koyduk. Kullanılan kodlar iç içe geçmiş olduklarında, üretilen yeni kodun Hamming mesafesi için bir alt sınır bulduk. Bu şekilde Hernando ve Ruano'nun çalışmasındaki en iyi parametrelere sahip bir takım kodları üreten yöntemi genelleştirmiş olduk. Ö nceden sunulan başka bir yöntemin aksine, kullanılan kodlar iç içe geçmemiş olduklarında bulduğumuz bu alt sınıra ulaşılamayacağını ve ayrıca bu alt sınırın geçerli olmayabileceğini de gözlemledik. Bunların yanında, Hernando ve Ruano'nun çalışmasında sunulan kodlarla aynı parametrelere sahip fakat bu kodlara denk olmayan yeni lineer kodlar elde ettik.

We study the Hamming distance and the structure of repeated-root cyclic codes, and their generalizations to constacyclic and polycyclic codes, over finite fields and Galois rings. We develop a method to compute the Hamming distance of these codes. Our computation gives the Hamming distance of constacyclic codes of length np^s in many cases. In particular, we determine the Hamming distance of all constacyclic, and therefore cyclic and negacyclic, codes of lengths p^s and 2p^s over a finite field of characteristic p. It turns out that the generating sets for the ambient space obtained by torsional degrees and strong Groebner basis for the ambient space are essentially the same and one can be obtained from the other. In the second part of the thesis, we study matrix product codes. We show that using nested constituent codes and a non-constant matrix in the construction of matrix product codes with polynomial units is a crucial part of the construction. We prove a lower bound on the Hamming distance of matrix product codes with polynomial units when the constituent codes are nested. This generalizes the technique used to construct the record-breaking examples of Hernando and Ruano. Contrary to a similar construction previously introduced, this bound is not sharp and need not hold when the constituent codes are not nested. We give a comparison of this construction with a previous one. We also construct new binary codes having the same parameters, of the examples of Hernando and Ruano, but non-equivalent to them.