Advances and applications of stochastic Ito-Taylor approximation and change of time method: In the financial sector

Abstract

Bu tezde, stokastik diferansiyel denklemlerin (SDD), çözümleri için iki farklı yaklaşım tartışılmaktadır: Ito-Taylor metodu (IT-M) ve zamanı değiştirme metodu (CT-M). Birinci metot uzay bölgesinde bir yaklaşım ve ikinci metot ise zaman bölgesinde olasılıksal bir dönüşümdür. Her iki metot da SDD'leri ve onların çözümlerini daha `pratik` gösterimlerle temsil etme imkanı verir. Şimdiye kadar IT-M bir-boyutlu SDD'ler için yeterince incelenmiştir. Bu çalışmanın asıl amacı bir-boyutlu IT-M'nun teorisini, cok-boyutlu SDD'lere genişletmektir. IT-M'nu aralarında korelasyon olmayan Brownian hareketleri ile ifade edilen SDD sistemleri için ele aldıktan sonra, aralarında korelasyon olan Brownian hareketleri ile ifade edilen SDD sistemleri için de ele alınmıştır. Sonra ayrıklaştırma şemaları verilmiştir ve SDD sistemlerini çözmek için kullanılmıştır. İkinci yaklaşım olanz amanı değiştirme metodu kısaca anlatılmıştır. Daha sonra, çok önemli modellerolan Cox-Ingersoll-Ross modeli ve Ornstein-Uhlenbeck modeli için uygulamalaryapılmıştır. IT-M'nın bir uygulaması olarak, stokastik kontrol problemleride incelenmiştir. Hassasiyet duyarlılığı gradyantı için bir ifade elde edebilmek için Malliavin kalkülüs kullanılmıştır. Tez boyunca finansal sektörden örneklerverilmiştir. Bu çalışma bir değerlendirme ve gelecek çalışmalara bir bakış ile sonuçlandırılmıştır.

In this thesis, we discuss two different approaches for the solution of stochastic differential equations (SDEs): Ito-Taylor method (IT-M) and change of time methodu. First approach is an approximation in space-domain and the second one is a probabilistic transformation in time-domain. Both approaches may be considered to substitute SDEs for more `practical` representations and solutions. IT-M was most studied for one-dimensional SDEs. The main aim of this work is to extend the theory of one-dimensional IT-M to the higher-dimensional SDEs. After covering IT-M for systems of SDEs with uncorrelated Brownian motions, we also consider the systems of SDEs with correlated Brownian motions. Then, discretization schemes are given and prepared to solve the systems of SDEs. As for the second approach, CT-M is discussed briefly. After this, applications of CT-M and IT-M are considered, especially, for most famous models, e.g., Cox-Ingersoll-Ross model and Ornstein-Uhlenbeck model. As an application of IT-M, stochastic control problems are also considered. In order to get an expression for the gradient of sensitivity, Malliavin calculus is used. Throughout the thesis we provide examples from the financial sector. This thesis ends with a conclusion and an outlook to future studies.