Discontinuous Galerkin finite elements method with structure preserving time integrators for gradient flow equations

Abstract

Gradyan akışlar bir enerji tarafından yönetilen ve enerjinin çözümler boyunca azaldığısistemlerdir. Akışkanlar dinamiği, görüntü işleme, biyoloji ve malzeme bilimi gibifarklı araştırma alanlarında gradyan akış yapısına sahip şaşırtıcı şekilde pek çok kısmitürevli denklem bulunmaktadır. Bu tezde, gradyan akışlarla modellenen iki sistemüzerinde yoğunlaştık; Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemleri. Bu iki denklem malzemebiliminde faz ayrımını modellemektedir. Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemlerininen önemli özelliği azalan enerji olduğu için, bu azalan enerji özelliğini sağlayanetkili ve doğru nümerik yöntemlerin geliştirilmesi önem kazanmaktadır. Allen-Cahnve Cahn-Hilliard denklemlerinin uzaydaki ayrıklaştırılmasında simetrik kesintili Galerkinyöntemini kullandık. Ortaya çıkan büyük adi diferansiyel denklem sistemlerinigradyan sistem olarak yapı koruyan zaman integratörlerinden geriye doğru yapılan Euleryöntemi ve ortalama vektör alanı yöntemi ile çözdük. Geriye doğru yapılan Euleryöntemi ve ortalama vektör alanı yöntemlerinin simetrik kesintili Galerkin yöntemiile bir araya geldiğinde şartsız olarak enerjiyi koruduğunu gösterdik. Her iki denkleminpolinom ve logaritmik enerji fonksiyonları ve sabit ve değişken akışkanlıkfonksiyonu ile elde edilen sayısal sonuçları bu yöntemin verimliliğini ve doğruluğunugöstermektedir.Advektif Allen-Cahn denklemi damlacık ayrılması olayındaki yüzey geriliminin basitbir modelidir. Küçük zaman ölçeği ve konvektif zaman ölçeği bu denklemin çözümündefiziksel olmayan dalgalanmalara sebep olmaktadır. Doğrular yöntemi kullanılarakayrıklaştırılan Allen-Cahn ve Cahn-Hilliard denklemlerinin aksine, advektif Allen-Cahn denklemini ilk önce geriye doğru yapılan Euler yöntemi ile zamanda ayrıklaştırılarakortaya çıkan yarı liner elliptik denklemleri uyarlanabilir algoritmalarla çözdük.Bu Rothe yöntemine karşılık gelmektedir. Fiziksel olmayan dalgalanmalara bir çareolarak çözüme bağlı hata kestiriciler üzerine kurulu simetrik kesintili Galerkin yöntemininuyarlanabilir biçimini kullandık. Konveksiyonun baskın olduğu Allen-Cahn denklemi için verilen sayısal sonuçlar uyarlanabilir algoritmanın performansını göstermektedir.

Gradient flows are energy driven evolutionary equations such that the energy decreasesalong solutions. There have been surprisingly a large number of well-known partialdifferential equations (PDEs) which have the structure of a gradient flow in differentresearch areas such as fluid dynamics, image processing, biology and material sciences.In this study, we focus on two systems which can be modeled by gradient flows;Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations. These equations model the phase separationin material science. Since an essential feature of the Allen-Cahn and Cahn-Hilliardequations is the energy decreasing property, it is important to design efficient and accurate numerical schemes that satisfy the corresponding energy decreasing property.We have used symmetric interior penalty Galerkin (SIPG) method to discretize theAllen-Cahn and Cahn-Hilliard equations in space. The resulting large system of ordinarydifferential equations (ODEs) as a gradient system are solved by the energy stable(energy decreasing) time integrators: implicit Euler and average vector field (AVF)methods. We have shown that implicit Euler and AVF time integrators coupled withSIPG method are unconditionally energy stable. Numerical results for both equationswith polynomial and logarithmic energy functions, and constant and variable mobilityfunctions illustrate the efficiency and accuracy of this approach.Advective Allen-Cahn equation is the simplest model of surface tension in the dropletbreakup phenomena. The small surface time scale and convective time scale lead to unphysical oscillations in the solution. In contrast to the discretization of Allen-Cahnand Cahn-Hilliard equations using the method of lines, the advective Allen-Cahn equationis first discretized in time using implicit Euler method and the resulting sequenceof semi–linear elliptic equations are solved with an adaptive algorithm. This correspondsto Rothe's method. As a remedy of unphysical oscillations, an adaptive versionof SIPG method based on residual based a posteriori error estimate is applied. Numericalresults for convection dominated Allen-Cahn equation show the performance ofadaptive algorithm.