Parallel preconditioning techniques for numerical solution of three dimensional partial differential equations

Abstract

Kısmi diferansiyel denklemler genellikle gözlenen olguları modelleme ve bu olgularla ilgili içgörü kazanmak veya ilgili sorunları çözmek için sanayi uygulamaları ve bilimde kullanılmaktadır. Son zamanlarda üç boyutlu kısmi diferansiyel denklemler daha önemli ve popüler olmaya başlamıştır. Bu sorunların sayısal çözümü genellikle belirli bir yöntem kullanılarak problemin seyrek doğrusal sistem çözümü problemine dönüştürülmesi ve çoğunlukla büyük ve kötü koşullandırılmış bu doğrusal sistemin çözümü. Büyük boyu nedeniyle doğrudan çözücüler yerine küçük bellek gereksinimi ve kısa çözüm süreleriyle iteratif çözücüler çekici gelse de, yinelemeli çözücülerin çoğunlukla kötü koşullandırılmış doğrusal sistemleri çözememesi umut kırmaktadır. Önkoşullandırma bu sorun için bir çaredir. Büyük seyrek doğrusal sistemlerinin çözümü büyük miktarda zaman alır ve genellikle problemin çözümü için dogrusal sistemlerin ardışık çözümü gereklidir. Paralel hesaplama teknikleri bu sorunun üstesinden gelmek için kullanılır. Çeşitli önkoşullandırma teknikleri iteratif çözüm yöntemleriyle sanayi uygulamaları ve bilimsel modelleme açısından önemli olan iki problem için incelenmiştir. Bu araştırmanın sonuçları, doğrudan çözücüler ve birbirleriyle karşılaştırılmıştır.

Partial differential equations are commonly used in industry and science to model observed phenomena and gain insight regarding phenomena or solve related problems. Recently three dimensional partial differential equations started to become more and more essential and popular. Numerical solution of these problems usually is composed of two steps; discretization with some scheme and solving resulting sparse linear system which is large and usually ill-conditioned. Large size encourages usage of iterative solvers rather that direct solvers due to small memory requirement and short solution times, but iterative solvers mostly fail for ill-conditioned coefficient matrices which is a great discouragement. Preconditioning is a remedy for this problem. Solution of large sparse linear systems take large amounts of time and usually consecutive solution of linear systems is necessary. Parallel computing techniques are used to overcome this problem. Various preconditioning techniques with iterative solutions and their scalability on three different parallel computing platforms are investigated for the solution of two three dimensional partial differential equation related large scale problems which are important for industrial applications and scientific modelling. Results of this investigation are compared against direct solvers and each other.