Stochastic delay differential equations

Abstract

Fizik, ekoloji, biyoloji, ekonomi, mühendeslik, finansal matematik gibi bir çok bilimalanında, olayların etkisi hemen gerçekle¸stikleri anda olmaz. Etkiler genellikle ilerleyenzamanlarda ortaya çıkar. Bu tarz sistemlerin yapılarını ve hareketlerini anlamakiçin, geçmi¸s olayların bilgi ve verilerini stokastik diferansiyel denklemlere ekleyerekgeciklemli stokastik diferansiyel denklemler elde edilmi¸stir. Bu denklemleringerçe˘gi daha iyi yansıtaca˘gı dü¸sünüldü˘gü için yeni bir ara¸stırma alanı olu¸sturmu¸stur.Stokatik diferansiyel denklemlerle kar¸sıla¸stırıldı˘gı zaman, gecikmeli stokastik diferansiyeldenklemlerin geli¸simlerinin çok daha ba¸slarında oldu˘gu söylenebilir. Kapalıçözüm bulmak zor oldu˘gu için bu tür denklemler için nümerik analiz metodları geli¸stirilmi¸stir. Son yıllarda finans ve ekonomi alanlarında çalı¸san bir çok bilim insanı, zamanba˘glılı˘gı içeren modeller için opsiyonların fiyatlandırılması üzerine çalı¸sıyor. Bizimbu tezde ki amacımız ise rastgele olmayan (deterministik) zaman gecikmeleriyle eldeedilmi¸s olan geciklemli stokastik diferansiyel denklemleri anlamak. Bu denklemlerinnasıl çözüldü˘günü anlam için bazı örnekleri ele alaca˘gız. Zamandaki gecikmeninetkisini görmek için farklı simulasyonlar yapaca˘gız. Tezin son bölümünde ise, budenklemler yardımıyla elde edilen modellerde ki hisse senedi getirilerini ve Avrupatarzında ki alım opsiyonlarının fiyatlarını inceleyece˘giz.

In many areas of science like physics, ecology, biology, economics, engineering, financialmathematics etc. phenomenas do not show their effect immediately at the momentof their occurrence. Generally, they influence the future states. In order to understandthe structure and quantitative behavior of such systems, stochastic delay differentialequations (SDDEs) are constructed while inserting the information that are obtainedfrom the past phenomena into the stochastic differential equations (SDEs). SDDEsbecome a new interest area due to the their potential to capture reality better. It can besaid that SDDEs are in the infancy stage when we consider the SDEs. Some numericalapproaches to SDDEs are constructed because obtaining closed form solutions by thehelp of stochastic calculus is very difficult most of the time and for some equations itis impossible. In recent years, scientist who are interest in economy and finance studyoption pricing formulation for systems that include time delay which can be stochasticor deterministic. The aim of this thesis is to understand general forms of SDDEs andtheir solution process for the deterministic time delay. Some examples are providedto see the exact solution process. Moreover, we examine numerical techniques to obtainapproximate solution processes. In order to understand effect of delay term, thesetechniques are used to simulate the solution process for different choices of delay termsand coefficients. In the application part of the thesis, we investigate the stock returnsand European call option price when the system is modeled with SDDEs.