Contributions on plateaued (Vectorial) functions for symmetric cryptography and coding theory

Abstract

Doğrusal olmayan fonksiyonlar ve doğrusal kodlar inşa etmek için kullanılan plato fonksiyonlar kriptografide ve kodlama teorisinde çok önemli rol oynamaktadır. Bu fonksiyonlar yüksek doğrusalsızlık, düşük otokorelasyon, esneklik, yayılma kriteri, dengelilik ve korelasyon dayanıklılığı gibi çeşitli istenen kriptografik özelliklere sahip olabilmektedir. Aslında bu fonksiyonlar esneklik derecesi ve doğrusalsızlık arasındaki mümkün olan en iyi sınırı sağlar. Bunun yanı sıra, bu fonksiyonlar düşük Walsh-Hadamard dönüşüm değerlerine sahip olmalarından dolayı doğrusal kriptanalize ve hızlı korelasyon saldırılarına karşı dayanıklıdır. Gerçekten de, kriptografik algoritmalar çoğunlukla doğrusal olmayan fonksiyonların uygun bileşkeleri ile tasarlanır, bu nedenle plato fonksiyonlar bu algoritmaların güvenliği üzerinde önemli bir etkiye sahiptir. Plato fonksiyonlar aynı zamanda, gizli paylaşım şemaları, kimlik doğrulama kodları, iletişim, veri depolama cihazları ve tüketici elektronikleri gibi birçok alanda uygulamaları olan ve kodlama teorisindeki en önemli kod sınıfını oluşturan doğrusal kodlarla yakından ilgilidir.Bu tezin iki temel amacı vardır: kriptografik açıdan sonlu cisimler üzerindeki fonksiyonların platoluluk özelliğini veren karakterizasyonlarını detaylı çalışmak, ve kodlama teorisinde zayıf düzenli plato fonksiyonlardan doğrusal kodlar inşa etmektir.Bu tezde, ilk olarak sonlu cisim /F_p, p asal sayı, üzerindeki plato (vektörel) fonksiyonların karakterizasyonlarını analiz ediyoruz. Açıkçası, bu fonksiyonların yapılarını anlamak ve inşaları hakkında bilgi edinmek için, Walsh kuvvet momentleri, türevleri ve otokorelasyon fonksiyonları bakımından çok sayıda karakterizasyonlarını elde ediyoruz. Özel olarak /F_p, p tek asal sayı, üzerinde homojen kübik bükük (ve bazı durumlarda homojen kübik plato) fonksiyonların olamayacağını gözlemliyoruz. Ayrıca, mutlak Walsh dönüşümü üç farklı değere (bir tanesi sıfır) sahip olan fonksiyon olamayacağını gösteriyoruz ve mutlak Walsh dönüşümü dört farklı değere (bir tanesi sıfır) sahip olan yeni fonksiyonlar sınıfı veriyoruz. Daha sonra, kısmi bükük ve plato fonksiyonlarını herhangi bir sonlu cisim /F_q, q asal kuvvet, üzerinde çalışıyor ve bu cisim üzerindeki davranışlarını anlamak için bazı karakterizasyonlarını veriyoruz.Bunlara ek olarak, /F_p, p tek asal sayı, üzerinde zayıf düzenli (olmayan) plato fonksiyon kavramını ve bu fonksiyonların ikincil inşalarını veriyoruz. Sonra, zayıf düzenli p-li plato (sırayla, Boole plato) fonksiyonlardan üç ağırlıklı doğrusal p-li (sırayla, ikili) kodlar inşa ediyoruz ve bu kodların ağırlık dağılımlarını belirliyoruz. Son olarak da, inşa edilen doğrusal kodların ``mükemmel'' erişim yapılarına sahip gizli paylaşım şemaları üretmek için kullanılabileceğini gösteriyoruz. Bilgimiz dahilinde, /F_p, p tek asal sayı, üzerinde plato fonksiyonlardan doğrusal kodların inşası literatürde ilk kez bu tezde çalışılıyor.Anahtar Kelimeler: Boole fonksiyonlar, vektörel fonksiyonlar, p-li fonksiyonlar, bükük,kısmi bükük, plato, zayıf düzenli (olmayan) plato, doğrusal kodlar, gizli paylaşım şemaları

Plateaued functions, used to construct nonlinear functions and linear codes, play a significantrole in cryptography and coding theory. They can possess various desirablecryptographic properties such as high nonlinearity, low autocorrelation, resiliency,propagation criteria, balanced-ness and correlation immunity. In fact, they providethe best possible compromise between resiliency order and nonlinearity. Besides theyresist against linear cryptanalysis and fast correlation attacks due to their low Walsh-Hadamard transform values. Indeed, cryptographic algorithms are usually designedby appropriate composition of nonlinear functions, hence plateaued functions havea great effect on the security of these algorithms. Additionally, plateaued functionsare closely related to linear codes, the most significant class of codes in coding theory,which have diverse applications in secret sharing schemes, authentication codes,communication, data storage devices and consumer electronics.The main objectives of this thesis are twofold: to study in detail the explicit characterizationsfor plateaued-ness of functions over finite fields from a cryptographicpoint of view, and to construct linear codes from weakly regular plateaued functionsin coding theory.In this thesis, we first analyse characterizations of plateaued (vectorial) functionsover a finite field Fp with p a prime number. More precisely, we obtain a large number of their characterizations in terms of their Walsh power moments, derivativesand autocorrelation functions, with the aim of both clarifying their structure andobtaining information about their construction. In particular, we observe the nonexistenceof a homogeneous cubic bent function (and in some cases a (homogeneous)cubic plateaued function) over Fp with p an odd prime. Moreover, we show the nonexistenceof a function whose absolute Walsh transform takes exactly three distinctvalues (one being zero), and introduce a new class of functions whose absoluteWalshtransform takes exactly four distinct values (one being zero). Furthermore, we studypartially bent and plateaued functions over a finite field Fq, with q a prime power, andobtain some of their characterizations in order to understand their behaviour over thisfield.In addition, we introduce the notion of (non)-weakly regular plateaued functions overFp, with p an odd prime, and provide the secondary constructions of these functions.We then construct three-weight linear p-ary (resp. binary) codes from weakly regularp-ary plateaued (resp. Boolean plateaued) functions and determine their weight distributions.Finally, we show that the constructed linear codes can be used to constructsecret sharing schemes with `nice` access structures. To the best of our knowledge,the construction of linear codes from plateaued functions over Fp, with p an oddprime, is studied in this thesis for the first time in the literature.Keywords: Boolean functions, vectorial functions, p-ary functions, bent, partiallybent, plateaued, (non)-weakly regular plateaued, linear codes, secret sharing schemes