On alltop functions

Abstract

q herhangi bir tek asal sayının kuvveti ve Fq da sonlu cisim olsun. Fq'de tanımlanan ffonksiyonunun bütün a 2 Fq noktalarındaki türevi, Da f (x) = f (x+a) f (x) birebir veörtense, f fonksiyonuna düzlemsel fonksiyon denir. E˘ger bütün a 2 Fq noktalarındatürev fonksiyonu kendisi düzlemselse, fonksiyona Alltop fonksiyonu denir. Alltopfonksiyonlarının kriptografi ve ilgili alanlarda özel önemi var. Mesela, bu fonksiyonlarkuantum bilgi teorisinde MUB-kar¸sılıklı tarafsız bazlar in¸sa etmek için kullanılır.x3 ba˘gıntısı Alltop tarafından 1980'de bulunan bir fonksiyon olup aynı zamanda bilinenoto ve çapraz korelasyon sınırlarına göre en ideal ve bütün karakteristi˘gi 3 olmayansonlu cisimlerde Alltop fonksiyonudur. Daha sonralar, bu fonksiyonların p=3'devarolmadı˘gı gösterilmi¸stir (Hall, Rao, Donovan). ¸Simdiye kadar xq+2 fonksiyonununda 3-ün q+1-i bölmedi˘gi durumlarda Fq2 sonlu cismi üzerinde Alltop oldu˘gu ve bununda x3-e EA-e¸sde˘ger olmadı˘gı, ama türevinin düzlemsel olup x2-e EA-e¸sde˘ger oldu˘gugösterilmi¸stir. Günümüzde de yeni EA-e¸sde˘ger olmayan Alltop fonksiyonlarının olupolmadı˘gı veya yeni Alltop fonksiyonu üretme yöntemleri bilinmemektedir.Bu tezde Fq2 sonlu cisminde olan q-kübik Alltop tek terimli ve iki terimli fonksiyonlarınınsınıflandırılması yapılmı¸stır. Özellikle, Fq2 üzerinde ve u 2 Fq2 için x3 + ux2q+1fonksiyonu incelenmi¸s ve bu durum için uygun u de˘gerlerinde L1x3L2 = x3+ux2q+1ve L1 xq+2 L2 = x3 +ux2q+1 ¸sartlarını sa˘glayan L1(x) = ax+bxq ve L2(x) = cx+dxqlineer permütasyonları bulunmu¸stur. Böylece, u-nun uygun de˘gerlerinde fonksiyonunx3 ve xq+2-ye EA-e¸sde˘ger oldu˘gu kanıtlanmı¸stır. ˙Ilaveten, x3 ve e¸sde˘ger klasları hariç Fq3 'de ba¸ska Alltop kübik q-monomialların (tek terimli) varolmadı˘gı kanıtlanmı¸stır.Ek olarak, Fpn 'den Fp'e `p-li Alltop fonksiyonları` kavramı tanımlanmı¸s ve sonlucisim üzerinde Alltop fonksiyonları ve p-li Alltop fonkisyonları arasındaki ba˘glantıverilmi¸stir. Aynı zamanda bazı bilindik ve bilinmeyen örnekler bulunup verilmi¸stir.

Let q be a power of an odd prime p and let Fq be a finite field. A map f is calledplanar on Fq if for any a 2 F?q , the dierence map (or derivative of f at a point a)Da(x) = f (x + a) f (x) is bijective. The definition of Alltop function is that, thedierence map at point a in the given field of odd characteristic is itself planar for anya 2 Fq. Alltop functions have special importance in cryptography and related areas.For example, they are used to construct mutually unbiased bases (MUB) in quantuminformation theory. The map x 7! x3 is an Alltop function in all finite fields foundby Alltop in 1980 which is an optimal function with respect to the known bounds onauto and crosscorrelation. Since then it was shown that these kind of functions donot exist when p = 3 (Hall, Rao, Donovan). So far, it has been found that xq+2 isalso an Alltop function over finite field Fq2 where 3 does not divide q + 1 and thisis EA-inequivalent to x3 whereas its dierence function (derivative), which is planar,is EA-equivalent to x2 (Hall, Rao, Gagola). It is still an open problem whether thereexist another EA-inequivalent Alltop functions or any method to construct new Alltopfunctions.In this thesis classification of q-cubic Alltop binomials over Fq2 is given. Specifically,x3 + ux2q+1 in Fq2 for u 2 Fq2 is analyzed and for this case permutation polynomialsL1(x) = ax + bxq and L2(x) = cx + dxq are found that satisfy L1 x3 L2 = x3 + ux2q+1and L1 xq+2 L2 = x3 + ux2q+1 for suitable values of u. Hence, by finding suitablevalues of u, it is shown that this class of functions are EA-equivalent to x3 and xq+2.Moreover, except x3 and the ones in its equivalence class, it is shown that there is noAlltop cubic q-monomials in Fq3 . In addition, new notion `p-ary Alltop functions`are defined from Fpn to Fp and the relation between Alltop functions and p-ary Alltopfunctions over finite fields is given. Furthermore, some trivial and non-trivial p-aryAlltop functions are found and given.