Pricing Spread And Basket Options Under Markov-Modulated Models

Abstract

Bu tez, öncelikle, Markov sürecindeki bir geçişin sadece model parametrelerinde değişmeye sebep olduğu klasik Markov kiplemeli modeller çerçevesinde spread ve basket opsiyonlarının fiyatlandırılmasını incelemeyi amaçlamıştır. Bu bağlamda, rejim değişimi olmayan modeller için literatürde geliştirilen fikirler baz alınarak yaklaşımlar önerilmiştir.İlk olarak, riskli varlıkların Markov kiplemeli geometrik Brownian hareketini (MKG/ BH) takip ettiği varsayılarak, spread opsiyonlarının fiyatlanması incelenmiştir. Bu çerçevede, Kirk's formülünün rejim değişimli versiyonuna odaklanılmış; dolayısıyla, spread opsiyonunun bir Avrupa tipi alım opsiyonu ile fiyatlanmasına olanak tanıyan numeraire değişim tekniği önerilmiştir. Oldukça küçük kullanım fiyatları için, söz konusu alım opsiyonunun dayanak varlık fiyatı MKGBH'e göre modellendiğinden dolayı, spread opsiyonu Markov kiplemeli Black-Scholes formülü kullanarak fiyatlandırılmıştır. Ardından, spread opsiyonlarının değerlemesi, dayanak varlık fiyatlarını Markov kiplemeli L/'{e}vy süreçleri (MKLS) ile modelleyerek gerçekleştirilmiştir. Bu modelleme baz alınarak, tek değişkenli bir Fourier inversiyonu kullanılmış, böylece spread opsiyonunun gerçek değerine oldukça yakın olan bir alt sınır elde edilmiştir. Sadece birleşik karakteristik fonksiyonlara ihtiyaç duyulduğundan, yaklaşımımız rejim değişimli birçok modele uygulanabilmektedir.Daha sonra, MKLS'i göz önünde bulundurularak basket opsiyonlarının değerlemesine odaklanılmış ve opsiyonun gerçek değerine oldukça yakın olan alt ve üst sınırlar belirlenmiştir. İlk olarak, tek değişkenli Fourier inversiyonu ve bir optimizasyon prosedürü kullanarak opsiyonun gerçek değeri için bir alt sınır elde edilmiştir. Bu optimizasyon prosedürü hesaplama maliyetini arttırdığından dolayı, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve optimizasyonsuz tek değişkenli Fourier inversiyonu kullanarak, daha hızlı bir şekilde elde edilen sınır fiyatları belirlenmiştir. Spread opsiyonununda olduğu gibi, basket opsiyonun fiyatlaması için izlediğimiz bütün yaklaşımlar dayanak varlıklara ait birleşik karakteristik fonksiyonunun bilinmesini gerektirmekte, bu ise bahsi geçen yöntemlerin birçok MKLS'ne uygulanmasına imkan vermektedir.Ayrıca, bu tezde spread ve basket opsiyonlarının Markov sürecindeki bir geçişin sadece parametrelerde bir değişmeye değil, aynı zamanda varlık fiyatlarında senkronize sıçramalara da sebep olduğu daha genel bir çerçeveye göre fiyatlandırılması da amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda, senkronize sıçramaları hesaba katmayan klasik MKLS çerçevesi altında elde edilen tüm sonuçlar, bu genel çerçeveye göre de ele alınmıştır. Son olarak, bu tez kapsamında elde edilen tüm yaklaşımların doğruluğunu kontrol etmek için birçok nümerik örnek sunulmuştur.

This thesis first aims to study the evaluation of spread and basket options under the classical Markov-modulated framework, for which a transition in the Markov process leads to a switch in the model parameters. In this regard, we provide approximations to the exact option prices based on ideas from the literature without regime switching.We start with pricing spread options when risky assets follow Markov-modulated geometricBrownian motions (MMGBMs). In this context, we focus on the regime-switching version of Kirk's formula. For that reason, a change of numeraire technique is introduced which allows to associate the spread option price with the value of a European call option. Since the underlying asset of this European call follows a MMGBM for relatively small strikes, we evaluate the spread option by using Markov-modulated Black-Scholes formula. Then, we discuss the valuation of spread options when the underlying asset prices are driven by Markov-modulated Lévy processes (MMLPs). Under this modeling set-up, we approximate the spread option price by means of an accurate lower bound, which is obtained via a univariate Fourier inversion. For this method, we only require the joint characteristic function; and therefore, our approximation becomes valid for many regime-switching models. Afterwards, we concentrate on the valuation of basket options for which we provide lower and upper bounds considering the MMLP framework. We first obtain an accurate lower bound by using a univariate Fourier inversion combined with an optimization procedure. However, this optimization procedure increases the computational cost. Therefore, we then derive faster analogous bounds by using the arithmetic-geometric mean inequality and univariate Fourier inversion without an optimization. As in the case of spread options, the approaches we followed for basket options are applicable to several MMLPs under which the joint characteristic functions of the underlying assets are known analytically.Furthermore in this thesis we aim to price spread and basket options under a more generalized framework, in which a transition in the Markov process may induce a switch in the parameters as well as synchronous jumps in the asset prices. For this purpose, we extend the results obtained under the classical MMLP framework, which does not take the synchronous jumps into account, to this generalized framework. Finally, in order to verify the accuracy of proposed approximations presented in this thesis, we include several numerical experiments.