Constructions of maximum rank distance codes, cyclicconstant dimension codes, and subspace packings

Abstract

Bu tezde, kodlama teorisindeki üç ana probleme çözümler sunan temel katkıları tanıtmayı amaçlıyoruz. İlk problem birbirine denk olmayan maksimum rank uzaklıklı (MRD) kodların inşasını inceliyor. Yani, $/F_q$ üzerindeki $m/times n$ matrislerin mümkün olan en büyük kümesinin inşasını, kümedeki iki farklı matrisin farkının rankı belirli bir sayıdan küçük olamayacak şekilde ele alarak araştırıyoruz. Bu tarz kodların uygun bir denklik fikri altındaki inşaları son on yılda başka alanlardaki uygulamaları sebebiyle kaydadeğer bir ilgi topladı, ve bizim çalışmalarımızı da içeren inşaların çoğu son birkaç yılda keşfedildi. Bu inşa yöntemlerini, temel ve en genel denklik fikrini dikkate alıp sınıflandırarak veriyoruz. Bu doğrultuda, literatürdeki birçok işte de gözlendiği gibi, temel olarak lineerleştirilmiş polinomların dilini kullanıyoruz. Rastgele ağ kodlamadaki etkin hesaplama ile ilgili bir uygulamadan kaynaklanan ikinci problem, büyük sabit boyutlu ve devirli altuzay kodlarının inşasını dikkate alıyor. Bu kurgu dahilinde, $/F_q^n$'nin $k$-boyutlu altuzaylarından oluşan büyük bir kümeyi, kümedeki birbirinden farklı iki altuzayın birbirine olan altuzay uzaklığı belirli bir sayıdan daha yakın olmayacak şekilde ve her bir altuzayın devirli kaydırılmışı da küme içinde kalacak şekilde inşa etmeyi amaçlıyoruz. Bu tarz kodların literatürdeki tek sistematik inşasını yine lineerleştirilmiş polinomları ama bu sefer biraz farklı şekilde kullanarak tanıtıyoruz. Belirtmek isteriz ki bu inşanın ana yapısı bizim bir diğer çalışmamızda sunulmuştur. Ek olarak, çözümün tarihini ve bazı ilgili notları özetliyoruz.Son problemde, paketleme tasarımlarının $q$-analoğu olan altuzay paketlemelerinin inşasına odaklanıyoruz. Bu fikir sabit boyut kodlarının doğal bir genelleştirmesidir, ve farklı ağ kodlarının analizinde uygulamaları vardır. Bu tarz kodların yinelemeli bir inşasını, lineerleştirilmiş polinomlar yerine `linkage` inşa metodunun bir genelleştirmesini kullanarak veriyoruz. Özellikle, MRD kodların matris versiyonlarından ve lineer cebirdeki bazı araçlardan faydalanıyoruz. Bu inşa yöntemi bizim son çalışmamızdaki ana sonuçlardan biridir. Bu problemlerin birbirinden farklı ama birbirleriyle oldukça bağlantılı olduğunu belirtiriz. Aralarındaki bağlantılar da ilgili yerlerde veriliyor. Ayrıca not etmek isteriz ki genel olarak matematiğin sonlu geometri, cebirsel geometri, cebir, ve lineer cebir gibi çeşitli alanları bu problemleri çözmek için kullanılmıştır. Bundan dolayı, tüm gelişmeleri gerekli ön bilgilerini de tam bir şekilde burada vererek sunmak kolay değildir. Üstelik, dilimizi mümkün mertebe basit tutmaya çalışıyoruz, ve gelişmelerin tarihi seyrini takip ediyoruz. Bu şekilde, daha genel bir okuyucu grubuna hitap etmeyi hedefliyoruz.

In this thesis, we aim to introduce the main contributions to solve three main problems in coding theory. The first problem investigates the construction of inequivalent maximum rank distance (MRD) codes. Namely, we look for the constructions of the largest possible sets of $m/times n$ matrices over a finite field $/F_q$, such that the rank of the subtraction of any two different matrices in the set cannot be smaller than a certain number. Constructions of such codes under a suitable equivalence notion have taken a worthwhile attention in the last decade due to their applications in many areas, and most of the constructions including also our works have been discovered in last few years. We introduce these outcomes by classifying them by considering the main and most general equivalence idea. We basically use the language of linearized polynomials in this direction as usual in many works in the literature. %/cite{OO2016,OO2017IEEETIT,OO2018NCSD,OO2018FFA}The second problem, which is originated from an application related to the efficiency in random network coding, concerns the construction of large cyclic subspace codes of constant dimension. In this set up, we aim to construct large sets of $k$-dimensional subspaces of $/F_q^n$ in a way that any two distinct subspaces cannot be close to each other more than a certain number in terms of the subspace distance, and the cyclic shifts of each subspace must be included in the set. We give the only systematic construction of such sets in the literature utilizing linearized polynomials again but in a slightly different way. We note that the basic structure of this construction was proposed in our another work. Additionally, we summarize the history of the solution and some further remarks.In the last problem, we focus on the constructions of subspace packings, which are the $q$-analogue of packing designs. This notion is a natural generalization of constant dimension codes, and has applications in the analysis of different network codes. We give a recursive construction of such codes using a generalization of the linkage construction rather than linearized polynomials. In particular, we make use of the matrix version of MRD codes together with some facts from linear algebra. This result is one of the main outcomes of our recent work. % /cite{EKOO2018} We express that these problems are different from but substantially related to each other. Connections among them are also expressed in related places. Furthermore, we remark that various areas of mathematics are used to solve these problems in general, e.g. finite geometry, algebraic geometry, algebra, and linear algebra. Therefore, it is not easy to introduce all advances properly with their complete preliminary information here. Moreover, we try to keep our language as simple as possible, and follow the historical journey of the advances. In that way, we target that this thesis can address a more general reader group.