On ramifications in extensions of rational function fields

Abstract

K(x) ve K(z) rasyonel fonksiyon cisimleri olsun; öyle ki K(x), K(z) üzerinde ayrışabilir bir cisim genişlemesidir. Öncelikle, K(x)'in,K(x)/K(z) genişlemesindeki dallanmış yerlerin sayısına bakılmıştır. Daha sonra, K[x]'de ayrışabilir bir polinom olan f(x) ve bir fonksiyon cismi olan F'in bir elamanı z için f(x)=z denkliği ile tanımlı F(x)/F genişlemesi ele alınmıştır. Bu cisim genişlemelerindeki dallanma indexleri ve fark kuvvetleri için formüller verilmiştir. Aslında; verilen bu formüller Kummer ve Artin-Scheier genişlemeleri için verilen bilindik formüllerin bir genelleştirilmesidir.

Let K(x) be a rational function field, which is a finite separable extension of the rational function field K(z). In the first part of the thesis, we have studied the number of ramified places of K(x) in K(x)/K (z). Then we have given a formula for the ramification index and the different exponent in the extension F(x) over a function field F, where x satisfies an equation f(x)=z for some z in F and separable polynomial f(x) in K[x]. In fact, this generalizes the well-known formulas for Kummer and Artin-Schreier extensions.