On irreducible binary polynomials

Abstract

Michon ve Ravache, makale [1]'de S3'ten GF(2)[x]'teki (derecesi 1'den büyük) indirgenemez polinomlar kümesi üzerine bir grup etkisi tanımlıyor ve bir yörüngenin 1, 2, 3 ya da 6 elemanlı olabileceğini gözlemleyerek şu soruları cevaplıyor: Hangi polinomların yörüngesinde i eleman bulunur? Derecesi n olanindirgenemez polinomların kaçının yörüngesi i elemanlıdır? Onların bu makalesinin ardından bir sonraki adım, sonuçlarının GF(q)'ya genellenmesi olarak görünse de, makaledeki grup etkisi tanımı bu tarz bir genişlemeye pek uygun değil. Dolayısıyla, bu yüksek lisans tezinde grup etkisi bir parça farklı birbiçimde tanımlanıyor ki daha sonra GF(q)'ya kolayca genellenebilsin. Ayrıca, makale [1]'in sonuçları da yeni grup etkisi tanımı kullanılarak tekrar elde ediliyor. Dahası, Meyn'ın yazdığı makale [2] ve yine Michon ve Ravache'ın çalışması olan makale [3]'ün ışığında; daha yüksek dereceye sahip ve verilen bir grup elemanının etkisinde sabit kalan indirgenemez polinomların inşaası da bu tezin bir parçasını oluşturuyor.

In the article [1], Michon and Ravache define a group action of S3 on the set of irreducible polynomials of degree greater than or equal to 2 over GF(2), and seeing that the orbits can have 1, 2, 3 or 6 elements, they give answers to the following two questions: Which polynomials have i elements in their orbits? Within the orbits of the irreducible polynomials of degree n, how many of them consist of i elements? After their article, the next step seems to generalize their results to the GF(q)-case, however, their denition of the group action is not so suitable for such an extension. Therefore it is defined in a slightly di#fferent approach in this master thesis so that it can be easily generalized to the GF(q)-case later. Furthermore, the results of the article [1] are reacquired using the new definition. Additionally, in the light of the articles [2] by Meyn and [3] by Michon and Ravache, the construction of irreducible polynomials of a higher degree which remain invariant under the group action of a given element forms a part of this thesis.