Automorphism group and subfields of the generalized giulietti-korchmáros function field

Abstract

Sonlu cisim üzerinde tanımlı ve Hasse-Weil sınırına göre olası en büyük sayıdarasyonel yer sayısına sahip fonksiyon cismine maksimal denir. En önemli maksimalfonksiyon cismi örneği Hermitian fonksiyon cismi H'dir. H, aynı sonlu cisim üzerindetanımlı maksimal fonksiyon cisimleri arasında en büyük cinse sahiptir, ve bucinse sahip, izomorfizma denkliğine göre, tek maksimal fonksiyon cismidir. Ayrıcaoldukça büyük bir otomorfizma grubuna sahiptir. Çok yakın zamana kadar H'inaltcismi olmayan bir maksimal fonksiyon cismi örneği bulunamamıstır. 2009 yılındaGiulietti ve Korchmáros Fq6 sonlu cismi üstünde, q bir asal sayı kuvveti olmak üzere,ve aynı sonlu cisim üzerinde tanımlı Hermitian fonksiyon cisminin altcismi olmayanilk maksimal fonksiyon cismi örneğini insa ettiler. Ayrıca bu fonksiyon cisminin otomorfizmagrubunu da buldular. Daha sonra Garcia, Güneri ve Stichtenoth, Giulietti-Korchmáros fonksiyon cisminin herhangi bir tek tam sayı n >= 3 için Fq2n üzerindetanımlı genellemesini buldular ve genellestirilmis Giulietti-Korchmáros fonksiyon cismininde maksimal olduğunu gösterdiler.Bu tezde genellestirilmis Giulietti-Korchmáros fonksiyon cisminin otomorfizmagrubu tarif edilmistir. Ayrıca, bu cismin bazı alt cisimleri ve bu alt cisimlerin cinsleride bulunmustur.

A function field over a finite field which has the largest possible number of rationalplaces, with respect to Hasse-Weil bound, is called maximal. The most importantexample of a maximal function field is the Hermitian function field H. It has thelargest possible genus among maximal function fields defined over the same finitefield, and it is the unique function field with this genus, up to isomorphism. Moreover,it has a very large automorphism group. Until recently there was no knownmaximal function field which is not a subfield of H. In 2009, Giulietti and Korchmárosconstructed the first example of a maximal function field over the finite fieldFq6 , where q is a prime power, which is not subfield of H over the same finite field.They also determined the automorphism group of this example. Later, a generalizationof Giulietti and Korchmáros construction to Fq2n for any odd number n >= 3was given by Garcia, Güneri and Stichtenoth and was shown to be maximal.In this thesis, we determine the automorphism group of the generalized Giulietti-Korchmáros function field. Moreover, some subfields of the generalized Giulietti-Korchmáros function field and their genera are also determined.